Komplette Vorbereitung: Funktionsuntersuchung · Integralrechnung · Stochastik
Die FOS-Abschlussprüfung Mathematik (Berlin) besteht aus 3 Teilen mit insgesamt 100 Punkten:
Bearbeitungszeit: 180 Minuten. Erlaubte Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner, Formelsammlung.
Ganzrationale Funktion im Sachkontext – alle Standardschritte der Kurvendiskussion
Mathematisch ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) für ganzrationale Funktionen. Im Sachkontext schränkt man auf sinnvolle Werte ein:
$$\mathbb{D} = [0;\, 20]$$
wenn z.B. \(x = 0\) dem Jahr 2000 und \(x = 20\) dem Jahr 2020 entspricht.
Setze die vorgegebenen \(x\)-Werte in \(f(x)\) ein und runde wie angegeben.
Gegeben: \(f(x) = -0{,}02x^4 + 9x^2 + 1800\). Berechne \(f(0)\), \(f(5)\), \(f(10)\), \(f(15)\), \(f(20)\).
\(f(0) = -0{,}02 \cdot 0 + 9 \cdot 0 + 1800 = \mathbf{1800}\)
\(f(5) = -0{,}02 \cdot 625 + 9 \cdot 25 + 1800 = -12{,}5 + 225 + 1800 = \mathbf{2013}\) (gerundet)
\(f(10) = -0{,}02 \cdot 10000 + 9 \cdot 100 + 1800 = -200 + 900 + 1800 = \mathbf{2500}\)
\(f(15) = -0{,}02 \cdot 50625 + 9 \cdot 225 + 1800 = -1012{,}5 + 2025 + 1800 = \mathbf{2813}\) (gerundet)
\(f(20) = -0{,}02 \cdot 160000 + 9 \cdot 400 + 1800 = -3200 + 3600 + 1800 = \mathbf{2200}\)
| \(x\) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1800 | 2013 | 2500 | 2813 | 2200 |
Wenn alle berechneten Funktionswerte positiv sind und die Funktion ein Minimum hat, das ebenfalls positiv ist, dann gibt es keine Nullstelle im Intervall.
Alternativ: Zeige, dass das globale Minimum im Intervall \(> 0\) ist.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Besucherzahl zwischen 2000 und 2020 zu keinem Zeitpunkt Null betrug.
Schritt 1: Minimum im Intervall \([0; 20]\) finden.
$$f'(x) = -0{,}08x^3 + 18x$$
$$f'(x) = 0 \Rightarrow x(-0{,}08x^2 + 18) = 0$$
$$x_1 = 0 \quad \text{oder} \quad x^2 = \frac{18}{0{,}08} = 225 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 15$$
Schritt 2: Randwerte und kritische Stellen prüfen:
\(f(0) = 1800\), \(f(15) \approx 2813\), \(f(20) = 2200\)
Schritt 3: Prüfe, ob \(x = 0\) ein Minimum ist: \(f''(x) = -0{,}24x^2 + 18\), \(f''(0) = 18 > 0\) → lokales Minimum.
Das Minimum im Intervall ist \(f(0) = 1800 > 0\).
Ergebnis: Da der kleinste Funktionswert \(1800\) beträgt, war die Besucherzahl im gesamten Zeitraum stets positiv – es gab keine Nullstelle.
Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0\)
Hinreichende Bedingung: \(f''(x_0) < 0\) → Hochpunkt, \(f''(x_0) > 0\) → Tiefpunkt
Funktionswert: \(f(x_0)\) berechnen → y-Koordinate des Extrempunkts
Berechnen Sie das Jahr, in dem die Besucherzahl am höchsten war, und geben Sie die höchste Besucherzahl an.
\(f(x) = -0{,}02x^4 + 9x^2 + 1800\)
1. Ableitung und Nullstellen:
$$f'(x) = -0{,}08x^3 + 18x = x(-0{,}08x^2 + 18) = 0$$
$$x_1 = 0, \quad x^2 = 225 \Rightarrow x_2 = 15 \quad (x_3 = -15 \text{ entfällt im Sachkontext})$$
2. Hinreichende Bedingung:
$$f''(x) = -0{,}24x^2 + 18$$
$$f''(15) = -0{,}24 \cdot 225 + 18 = -54 + 18 = -36 < 0 \quad \checkmark \text{ Hochpunkt}$$
3. Funktionswert:
$$f(15) = -0{,}02 \cdot 50625 + 9 \cdot 225 + 1800 = -1012{,}5 + 2025 + 1800 = 2812{,}5 \approx 2813$$
Ergebnis: Die höchste Besucherzahl war im Jahr 2015 (\(x = 15\)) mit ca. 2813 Besuchern.
$$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$
Das ist die durchschnittliche Änderung pro x-Einheit (pro Jahr) im Intervall \([x_1;\, x_2]\).
Die Gerade \(g\) verläuft durch \(P_1(5|f(5))\) und \(P_2(15|f(15))\). Ermitteln Sie den Anstieg und beurteilen Sie ihn im Sachzusammenhang.
$$m = \frac{f(15) - f(5)}{15 - 5} = \frac{2813 - 2013}{10} = \frac{800}{10} = 80$$
Deutung: Zwischen 2005 und 2015 stieg die Besucherzahl im Durchschnitt um 80 Besucher pro Jahr.
Geradengleichung:
$$g(x) = 80(x - 5) + 2013 = 80x + 1613$$
$$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$$
Im Jahr 2010 (\(x = 10\)) wird vermutet, die Zunahme sei ab jetzt linear. Bestimmen Sie die Tangente im Punkt \(P_3(10|f(10))\) und berechnen Sie die Besucherzahl im Jahr 2020."
1. Funktionswert:
$$f(10) = -0{,}02 \cdot 10000 + 9 \cdot 100 + 1800 = 2500$$
2. Ableitung und Steigung:
$$f'(x) = -0{,}08x^3 + 18x$$
$$f'(10) = -0{,}08 \cdot 1000 + 180 = -80 + 180 = 100$$
3. Tangente aufstellen:
$$t(x) = 100(x - 10) + 2500 = 100x + 1500$$
4. Besucherzahl 2020 (linear):
$$t(20) = 100 \cdot 20 + 1500 = 3500$$
Ergebnis: Bei linearer Entwicklung ab 2010 wären im Jahr 2020 ca. 3500 Besucher zu erwarten gewesen.
Vergleich: Tatsächlich ergibt \(f(20) = 2200\), also deutlich weniger – die Besucherzahl wuchs nicht linear weiter.
Wenn ein Punkt \((x_0 | y_0)\) auf dem Graphen liegen soll:
$$h(x_0) = y_0 \quad \Rightarrow \quad \text{nach } a \text{ auflösen}$$
Bei geringeren Eintrittspreisen hätten 2010 (\(x = 10\)) 2800 Besucher das Museum besucht. Die Funktion lautet \(h(x) = -0{,}02x^4 + ax^2 + 1800\). Ermitteln Sie \(a\).
Bedingung: \(h(10) = 2800\)
$$-0{,}02 \cdot 10000 + a \cdot 100 + 1800 = 2800$$
$$-200 + 100a + 1800 = 2800$$
$$100a + 1600 = 2800$$
$$100a = 1200$$
$$a = 12 \quad \checkmark$$
Die Besucherzahl steigt am stärksten, wenn \(f'(x)\) maximal ist.
Vorgehen: Maximum von \(f'(x)\) finden → \(f''(x) = 0\) setzen, dann \(f'''(x_0) < 0\) prüfen.
Untersuchen Sie: Wenn \(h(x) = -0{,}02x^4 + 12x^2 + 1800\), wäre die Besucherzahl im Jahr 2010 (\(x = 10\)) am stärksten gestiegen.
1. Ableitungen:
$$h'(x) = -0{,}08x^3 + 24x$$
$$h''(x) = -0{,}24x^2 + 24$$
$$h'''(x) = -0{,}48x$$
2. Maximum von \(h'\) finden: \(h''(x) = 0\)
$$-0{,}24x^2 + 24 = 0 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$$
3. Prüfen: \(h'''(10) = -0{,}48 \cdot 10 = -4{,}8 < 0\) → \(h'(x)\) hat bei \(x = 10\) ein Maximum ✓
Ergebnis: Die Behauptung stimmt. Im Jahr 2010 war der Anstieg der Besucherzahl maximal.
Stammfunktionen, bestimmtes Integral, Flächen unter Kurven und zwischen Graphen
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
$$A = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|$$
Falls \(f(x)\) das Vorzeichen wechselt: Intervall an der Nullstelle aufteilen!
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$
Wenn \(f(x) \geq g(x)\) im Intervall: \(A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx\)
Wenn der Graph stückweise linear ist, zerlege die Fläche in Dreiecke und Trapeze:
$$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \qquad A_{\text{Trapez}} = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h$$
Ein Fahrzeug fährt: 0–10 s ansteigend auf 30 m/s, 10–14 s konstant 30 m/s, 14–19 s abfallend auf 0 m/s. Berechne die Teilflächen und die Gesamtstrecke.
A₁ (Dreieck, 0–10 s): \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 30 = 150\) m
A₂ (Rechteck, 10–14 s): \(4 \cdot 30 = 120\) m
A₃ (Dreieck, 14–19 s): Die Fläche ergibt sich als Trapez oder Dreieck je nach Graph.
Angenommen Dreieck: \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 30 = 75\) m → aber mit exakter Ablesung: hier z.B. Trapez \(\frac{1}{2}(30 + 15) \cdot 5 = 112{,}5\) m
Gesamtstrecke: \(s = A_1 + A_2 + A_3 = 150 + 120 + 112{,}5 = 382{,}5\) m ✓
$$\bar{v} = \frac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Gesamtzeit}} = \frac{s_{\text{gesamt}}}{t_{\text{gesamt}}}$$
Oder allgemein als Integralmittelwert:
$$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx$$
\(s_{\text{gesamt}} = 382{,}5\) m, Gesamtzeit = 19 s.
$$\bar{v} = \frac{382{,}5}{19} \approx 20{,}13 \text{ m/s}$$
Setze \(x_0\) in \(f(x)\) ein. Kommt \(y_0\) heraus, liegt der Punkt auf dem Graphen.
Zeige, dass \((0|0)\) und \((10|30)\) auf \(f(x) = -\frac{1}{1000}x^4 + \frac{2}{5}x^2\) liegen.
\(f(0) = 0\) ✓ → Koordinatenursprung liegt auf dem Graphen
\(f(10) = -\frac{10000}{1000} + \frac{200}{5} = -10 + 40 = 30\) ✓ → \((10|30)\) liegt auf dem Graphen
Berechnen Sie \(\int_0^{10} \left(-\frac{1}{1000}x^4 + \frac{2}{5}x^2\right) dx\) und deuten Sie das Ergebnis als Strecke.
Stammfunktion:
$$F(x) = -\frac{1}{5000}x^5 + \frac{2}{15}x^3$$
Einsetzen:
$$F(10) = -\frac{100000}{5000} + \frac{2000}{15} = -20 + 133{,}\overline{3} = 113{,}\overline{3}$$
$$F(0) = 0$$
$$\int_0^{10} f(x)\, dx = 113{,}\overline{3} - 0 \approx 113{,}3 \text{ m}$$
Deutung: Das Fahrzeug hat in den ersten 10 Sekunden ca. 113,3 m zurückgelegt.
\(f(x) = -\frac{1}{1000}x^4 + \frac{2}{5}x^2\) und \(g(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 4x + 10\), Intervall \([0; 10]\).
Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen und deuten Sie das Ergebnis.
Differenzfunktion:
$$g(x) - f(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 4x + 10 + \frac{1}{1000}x^4 - \frac{2}{5}x^2$$
$$= \frac{1}{1000}x^4 - \frac{3}{5}x^2 + 4x + 10$$
Integration:
$$\int_0^{10}\left[\frac{1}{1000}x^4 - \frac{3}{5}x^2 + 4x + 10\right]dx$$
$$= \left[\frac{1}{5000}x^5 - \frac{1}{5}x^3 + 2x^2 + 10x\right]_0^{10}$$
$$= \frac{100000}{5000} - \frac{1000}{5} + 200 + 100 = 20 - 200 + 200 + 100 = 120$$
Deutung: Die Fläche von 120 (FE) bedeutet: Das zweite Fahrzeug hat in 10 Sekunden 120 m mehr zurückgelegt als das erste.
Bestimmtes Integral berechnen (enthält Parameter \(a\)), gleich dem gegebenen Flächeninhalt setzen, nach \(a\) auflösen.
\(h(x) = ax^2 - 22{,}8x + 231{,}6\), Intervall \([14; 19]\). Die Fläche zwischen Graph und x-Achse soll genau 100 FE betragen. Bestimme \(a\).
Stammfunktion:
$$H(x) = \frac{a}{3}x^3 - 11{,}4x^2 + 231{,}6x$$
Einsetzen:
$$\int_{14}^{19} h(x)\, dx = H(19) - H(14)$$
$$H(19) = \frac{a}{3} \cdot 6859 - 11{,}4 \cdot 361 + 231{,}6 \cdot 19 = \frac{6859a}{3} - 4115{,}4 + 4400{,}4$$
$$H(14) = \frac{a}{3} \cdot 2744 - 11{,}4 \cdot 196 + 231{,}6 \cdot 14 = \frac{2744a}{3} - 2234{,}4 + 3242{,}4$$
Differenz:
$$H(19) - H(14) = \frac{6859a - 2744a}{3} + (-4115{,}4 + 4400{,}4) - (-2234{,}4 + 3242{,}4)$$
$$= \frac{4115a}{3} + 285 - 1008 = \frac{4115a}{3} - 723$$
Gleichsetzen:
$$\frac{4115a}{3} - 723 = 100$$
$$\frac{4115a}{3} = 823$$
$$a = \frac{823 \cdot 3}{4115} = \frac{2469}{4115} = 0{,}6$$
Baumdiagramm, Wahrscheinlichkeiten, Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
1. Pfadregel (Multiplikation): Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren.
2. Pfadregel (Addition): Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade zum selben Ergebnis addieren.
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Aus der Vierfeldertafel: Einschränken auf die Spalte/Zeile von B, dann den Anteil von A ablesen.
Zwei Ereignisse \(E_4\) und \(E_5\) sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
$$P(E_4 \cap E_5) = P(E_4) \cdot P(E_5)$$
Alternativ: \(P(E_4 | E_5) = P(E_4)\)
In einem Unternehmen: 25 % vierstellige, 75 % fünfstellige Passwörter. Von den vierstelligen bestehen ⅓ nur aus Buchstaben. Von den fünfstelligen bestehen 80 % aus Ziffern und Buchstaben.
Abkürzungen: V = vierstellig, F = fünfstellig, B = nur Buchstaben, Z = Ziffern und Buchstaben
1. Stufe: \(P(V) = 0{,}25\), \(P(F) = 0{,}75\)
2. Stufe (bei V): \(P(B|V) = \frac{1}{3}\), \(P(Z|V) = \frac{2}{3}\)
2. Stufe (bei F): \(P(Z|F) = 0{,}8\), \(P(B|F) = 0{,}2\)
Start
/ \
0,25/ \0,75
/ \
V F
/ \ / \
1/3 2/3 0,8 0,2
/ \ / \
B Z Z B
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten:
\(E_1\): Nur Buchstaben (2. Pfadregel – beide Pfade zu „B" addieren):
$$P(E_1) = P(V \cap B) + P(F \cap B) = 0{,}25 \cdot \tfrac{1}{3} + 0{,}75 \cdot 0{,}2$$
$$= 0{,}08\overline{3} + 0{,}15 = 0{,}23\overline{3} \approx 0{,}233$$
\(E_2\): Fünfstellig UND Ziffern+Buchstaben (1. Pfadregel – ein Pfad):
$$P(E_2) = P(F \cap Z) = 0{,}75 \cdot 0{,}8 = 0{,}6$$
\(E_3\): Fünfstellig ODER nur Buchstaben (Additionssatz):
$$P(E_3) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$
$$= 0{,}75 + 0{,}23\overline{3} - 0{,}15 = 0{,}83\overline{3} \approx 0{,}833$$
Zeilen und Spalten sind die beiden Merkmale. Die Ränder ergeben die Summen.
220 Befragte, davon 25 % Auszubildende (= 55). Von den Azubis hatten 35 ein fünfstelliges Passwort. Insgesamt hatten 155 ein fünfstelliges Passwort.
A = Auszubildende, \(\bar{A}\) = keine Azubis, F = fünfstellig, \(\bar{F}\) = vierstellig
| A | \(\bar{A}\) | Σ | |
|---|---|---|---|
| F (fünfstellig) | 35 | 120 | 155 |
| \(\bar{F}\) (vierstellig) | 20 | 45 | 65 |
| Σ | 55 | 165 | 220 |
Berechnung der fehlenden Felder:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein vierstelliges Passwort hat?
$$P(\bar{F}) = \frac{65}{220} = \frac{13}{44} \approx 0{,}295 \approx 29{,}5\,\%$$
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\text{Feld „A und B"}}{\text{Spalte/Zeile von B (Summe)"}}$$
Aus der Gruppe mit vierstelligen Passwörtern wird eine Person gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein Azubi ist?
Bedingung: nur vierstellige Passwörter → Zeile \(\bar{F}\) mit Summe 65.
$$P(A|\bar{F}) = \frac{20}{65} = \frac{4}{13} \approx 0{,}308 \approx 30{,}8\,\%$$
Berechne beide Seiten der Gleichung und vergleiche:
$$P(E_4 \cap E_5) \stackrel{?}{=} P(E_4) \cdot P(E_5)$$
Gleich → unabhängig. Ungleich → abhängig.
\(E_4\): Person ist Azubi. \(E_5\): Person hat fünfstelliges Passwort. Sind \(E_4\) und \(E_5\) stochastisch unabhängig?
Linke Seite:
$$P(E_4 \cap E_5) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44} \approx 0{,}1591$$
Rechte Seite:
$$P(E_4) \cdot P(E_5) = \frac{55}{220} \cdot \frac{155}{220} = \frac{1}{4} \cdot \frac{31}{44} = \frac{31}{176} \approx 0{,}1761$$
Vergleich:
$$0{,}1591 \neq 0{,}1761$$
Ergebnis: \(E_4\) und \(E_5\) sind nicht stochastisch unabhängig.
Das musst du können – geh jeden Punkt durch
Der Wasserstand eines Sees wird durch \(f(x) = -0{,}01x^4 + 0{,}4x^3 - 4x^2 + 12x + 50\) modelliert, wobei \(x\) die Monate nach Januar 2020 und \(f(x)\) den Wasserstand in cm über Normal angibt. Es gilt \(0 \leq x \leq 24\).
a)
\(f(0) = 50\)
\(f(6) = -0{,}01 \cdot 1296 + 0{,}4 \cdot 216 - 4 \cdot 36 + 72 + 50 = -12{,}96 + 86{,}4 - 144 + 72 + 50 = 51{,}44 \approx 51\)
\(f(12) = -0{,}01 \cdot 20736 + 0{,}4 \cdot 1728 - 4 \cdot 144 + 144 + 50 = -207{,}36 + 691{,}2 - 576 + 144 + 50 = 101{,}84 \approx 102\)
\(f(18) = -0{,}01 \cdot 104976 + 0{,}4 \cdot 5832 - 4 \cdot 324 + 216 + 50 = -1049{,}76 + 2332{,}8 - 1296 + 216 + 50 = 253{,}04 \approx 253\)
\(f(24) = -0{,}01 \cdot 331776 + 0{,}4 \cdot 13824 - 4 \cdot 576 + 288 + 50 = -3317{,}76 + 5529{,}6 - 2304 + 288 + 50 = 245{,}84 \approx 246\)
b) \(f'(x) = -0{,}04x^3 + 1{,}2x^2 - 8x + 12\) → Extrempunkte durch \(f'(x) = 0\) und hinreichende Bedingung.
c)
\(f'(6) = -0{,}04 \cdot 216 + 1{,}2 \cdot 36 - 48 + 12 = -8{,}64 + 43{,}2 - 48 + 12 = -1{,}44\)
$$t(x) = -1{,}44(x - 6) + 51{,}44 = -1{,}44x + 60{,}08$$
$$t(12) = -1{,}44 \cdot 12 + 60{,}08 = -17{,}28 + 60{,}08 = 42{,}8 \approx 43$$
Bei linearer Fortsetzung wäre der Wasserstand nach 12 Monaten ca. 43 cm.
Die Geschwindigkeit eines Fahrrads wird beschrieben durch \(v(t) = -0{,}06t^2 + 1{,}2t\) (in m/s, \(0 \leq t \leq 20\)).
a) \(v(0) = 0\) ✓, \(v(20) = -0{,}06 \cdot 400 + 24 = -24 + 24 = 0\) ✓
b) \(v'(t) = -0{,}12t + 1{,}2 = 0 \Rightarrow t = 10\)
\(v(10) = -0{,}06 \cdot 100 + 12 = -6 + 12 = 6\) m/s
c)
$$s = \int_0^{20} (-0{,}06t^2 + 1{,}2t)\, dt = \left[-0{,}02t^3 + 0{,}6t^2\right]_0^{20}$$
$$= -0{,}02 \cdot 8000 + 0{,}6 \cdot 400 = -160 + 240 = 80 \text{ m}$$
d) \(\bar{v} = \frac{80}{20} = 4\) m/s
In einem Sportverein mit 300 Mitgliedern sind 40 % männlich. Von den männlichen Mitgliedern trainieren 60 % mehr als zweimal pro Woche. Von den weiblichen trainieren 45 % mehr als zweimal pro Woche.
a) Baumdiagramm: M = männlich, W = weiblich, T = trainiert >2x, \(\bar{T}\) = nicht
\(P(M) = 0{,}4\), \(P(W) = 0{,}6\)
\(P(T|M) = 0{,}6\), \(P(T|W) = 0{,}45\)
b) Totale Wahrscheinlichkeit:
$$P(T) = P(M) \cdot P(T|M) + P(W) \cdot P(T|W) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 + 0{,}6 \cdot 0{,}45 = 0{,}24 + 0{,}27 = 0{,}51$$
c) Vierfeldertafel:
| M | W | Σ | |
|---|---|---|---|
| T (>2x) | 72 | 81 | 153 |
| \(\bar{T}\) | 48 | 99 | 147 |
| Σ | 120 | 180 | 300 |
d) Bedingte Wahrscheinlichkeit:
$$P(M|T) = \frac{72}{153} = \frac{24}{51} \approx 0{,}471 \approx 47{,}1\,\%$$
e) Unabhängigkeit:
$$P(M \cap T) = \frac{72}{300} = 0{,}24$$
$$P(M) \cdot P(T) = 0{,}4 \cdot 0{,}51 = 0{,}204$$
\(0{,}24 \neq 0{,}204\) → nicht unabhängig
\(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 4x - 3\) im Intervall, in dem \(g(x) \geq f(x)\).
Schnittpunkte: \(x^2 = 4x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\)
$$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \; x_2 = 3$$
Fläche:
$$A = \int_1^3 [(4x-3) - x^2]\, dx = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3)\, dx$$
$$= \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_1^3$$
$$= \left(-9 + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \text{ FE}$$
Komplettes Schema für die Funktionsuntersuchung
Stammfunktionen & Hauptsatz im Detail
Extra Übungen nur zum Thema Tangente
Flächen unter Kurven & zwischen Graphen
Abschlussprüfung Fachoberschule 2025 · Mathematik A · Berlin · Alle Aufgaben mit Musterlösungen
$$f(x) = -0{,}2x^4 + 2{,}5x^2 - 2{,}3 \;;\quad x \in \mathbb{R}$$
Geben Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von \(f\) an und begründen Sie Ihre Angabe. Geben Sie das Verhalten der Funktionswerte von \(f\) im Unendlichen an.
Symmetrie:
$$f(-x) = -0{,}2(-x)^4 + 2{,}5(-x)^2 - 2{,}3 = -0{,}2x^4 + 2{,}5x^2 - 2{,}3 = f(x)$$
Da \(f(-x) = f(x)\) gilt, ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse (gerade Funktion). Die Funktion enthält ausschließlich gerade Potenzen (\(x^4, x^2\)) und eine Konstante.
Verhalten im Unendlichen:
Der höchste Grad ist 4 (gerade), der führende Koeffizient ist \(-0{,}2 < 0\):
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$
Der Graph fällt zu beiden Seiten ins Negative.
Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Graphen von \(f\) mit den Koordinatenachsen.
Schnittpunkt mit der y-Achse (\(x = 0\)):
$$f(0) = -2{,}3 \quad \Rightarrow \quad S_y(0 \mid -2{,}3)$$
Schnittpunkte mit der x-Achse (\(f(x) = 0\)):
$$-0{,}2x^4 + 2{,}5x^2 - 2{,}3 = 0 \quad | \div (-0{,}2)$$
$$x^4 - 12{,}5x^2 + 11{,}5 = 0$$
Substitution: \(u = x^2\), \(u \geq 0\)
$$u^2 - 12{,}5u + 11{,}5 = 0$$
$$u_{1,2} = \frac{12{,}5 \pm \sqrt{156{,}25 - 46}}{2} = \frac{12{,}5 \pm \sqrt{110{,}25}}{2} = \frac{12{,}5 \pm 10{,}5}{2}$$
$$u_1 = \frac{23}{2} = 11{,}5 \quad \Rightarrow \quad x = \pm\sqrt{11{,}5} \approx \pm 3{,}39$$
$$u_2 = \frac{2}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$
Schnittpunkte mit der x-Achse:
$$S_1(-\sqrt{11{,}5} \mid 0),\quad S_2(-1 \mid 0),\quad S_3(1 \mid 0),\quad S_4(\sqrt{11{,}5} \mid 0)$$
Ermitteln Sie die Koordinaten und die Art der Extrempunkte des Graphen von \(f\). Begründen Sie, ob es sich bei den berechneten Extrempunkten jeweils nur um lokale oder auch um globale Extrempunkte handelt.
1. Ableitungen:
$$f'(x) = -0{,}8x^3 + 5x$$
$$f''(x) = -2{,}4x^2 + 5$$
2. Notwendige Bedingung \(f'(x) = 0\):
$$-0{,}8x^3 + 5x = x(-0{,}8x^2 + 5) = 0$$
$$x_1 = 0 \quad \text{oder} \quad x^2 = \frac{5}{0{,}8} = 6{,}25 \quad \Rightarrow \quad x_{2,3} = \pm 2{,}5$$
3. Hinreichende Bedingung:
\(f''(0) = 5 > 0 \quad \Rightarrow\) lokaler Tiefpunkt
\(f(0) = -2{,}3 \quad \Rightarrow \quad T(0 \mid -2{,}3)\)
\(f''(2{,}5) = -2{,}4 \cdot 6{,}25 + 5 = -15 + 5 = -10 < 0 \quad \Rightarrow\) lokaler Hochpunkt
$$f(2{,}5) = -0{,}2 \cdot 39{,}0625 + 2{,}5 \cdot 6{,}25 - 2{,}3 = -7{,}8125 + 15{,}625 - 2{,}3 = 5{,}5125$$
$$H_1(2{,}5 \mid 5{,}5125) \quad \text{(analog: } H_2(-2{,}5 \mid 5{,}5125)\text{)}$$
4. Lokal oder global?
Da \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = -\infty\), gibt es kein globales Minimum. Der Tiefpunkt \(T(0 \mid -2{,}3)\) ist nur ein lokales Minimum.
Die Hochpunkte \(H_{1,2}(\pm 2{,}5 \mid 5{,}5125)\) sind gleichzeitig das globale Maximum (höchster Wert der gesamten Funktion).
Untersuchen Sie den Graphen von \(f\) auf Wendepunkte und bestimmen Sie die Koordinaten der Wendepunkte. Ermitteln Sie den Anstiegswinkel des Graphen von \(f\) in beiden Wendepunkten. Geben Sie eine Eigenschaft des Graphen bezüglich des Anstiegs in einem der beiden Wendepunkte an.
1. Wendepunkte: \(f''(x) = 0\)
$$-2{,}4x^2 + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{5}{2{,}4} = \frac{25}{12}$$
$$x_{W_{1,2}} = \pm \frac{5}{\sqrt{12}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{6} \approx \pm 1{,}44$$
Nachweis (VZW von \(f''\)): \(f'''(x) = -4{,}8x\); \(f'''(\pm 1{,}44) \neq 0\) ✓
2. y-Koordinaten:
Mit \(x^2 = \frac{25}{12}\) und \(x^4 = \frac{625}{144}\):
$$f\!\left(\frac{5\sqrt{3}}{6}\right) = -0{,}2 \cdot \frac{625}{144} + 2{,}5 \cdot \frac{25}{12} - 2{,}3 = -\frac{125}{144} + \frac{625}{120} \approx -0{,}868 + 5{,}208 - 2{,}3 \approx 2{,}04$$
$$W_1\!\left(\frac{5\sqrt{3}}{6} \,\Big|\, 2{,}04\right) \approx W_1(1{,}44 \mid 2{,}04) \quad;\quad W_2 \approx (-1{,}44 \mid 2{,}04)$$
3. Anstiegswinkel:
$$f'(x) = -0{,}8x^3 + 5x$$
$$f'\!\left(\frac{5\sqrt{3}}{6}\right) = -0{,}8 \cdot \frac{125\sqrt{3}}{72} + 5 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{-100\sqrt{3} + 300\sqrt{3}}{72} = \frac{200\sqrt{3}}{72} = \frac{25\sqrt{3}}{9} \approx 4{,}81$$
$$\alpha = \arctan(4{,}81) \approx 78{,}2°$$
Im Wendepunkt \(W_2\): \(f'(-1{,}44) \approx -4{,}81\) (da \(f'\) ungerade), \(\alpha \approx -78{,}2°\)
4. Eigenschaft: Im Wendepunkt \(W_1\) hat der Graph den stärksten Anstieg (das Maximum von \(f'\) im Intervall \([0; +\infty)\) liegt bei \(x \approx 1{,}44\)).
Ergänzen Sie die folgende Wertetabelle. Zeichnen Sie den Graphen von \(f\) im Intervall \([-3{,}5;\, 3{,}5]\).
| \(x\) | \(-3{,}5\) | \(-2{,}5\) | \(-1{,}5\) | \(-0{,}5\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ? | 5,51 | ? | −1,69 | ? | ? |
Berechnung:
\(f(-3{,}5) = -0{,}2 \cdot 150{,}0625 + 2{,}5 \cdot 12{,}25 - 2{,}3 = -30{,}0125 + 30{,}625 - 2{,}3 = \mathbf{-1{,}69}\)
\(f(-1{,}5) = -0{,}2 \cdot 5{,}0625 + 2{,}5 \cdot 2{,}25 - 2{,}3 = -1{,}0125 + 5{,}625 - 2{,}3 = \mathbf{2{,}31}\)
\(f(2) = -0{,}2 \cdot 16 + 2{,}5 \cdot 4 - 2{,}3 = -3{,}2 + 10 - 2{,}3 = \mathbf{4{,}5}\)
\(f(3) = -0{,}2 \cdot 81 + 2{,}5 \cdot 9 - 2{,}3 = -16{,}2 + 22{,}5 - 2{,}3 = \mathbf{4{,}0}\)
| \(x\) | \(-3{,}5\) | \(-2{,}5\) | \(-1{,}5\) | \(-0{,}5\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −1,69 | 5,51 | 2,31 | −1,69 | 4,50 | 4,00 |
Eine quadratische Funktion \(p\) ist gegeben durch \(p(x) = ax^2 + b\). Der Graph verläuft durch \(P(-1 \mid -3)\) und \(Q(3 \mid 17)\). Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von \(p\). [Zur Kontrolle: \(p(x) = 2{,}5x^2 - 5{,}5\)]
Gleichungssystem aus den Punktbedingungen:
$$p(-1) = -3: \quad a \cdot 1 + b = -3 \quad \text{(I)}$$
$$p(3) = 17: \quad a \cdot 9 + b = 17 \quad \text{(II)}$$
(II) − (I):
$$8a = 20 \quad \Rightarrow \quad a = 2{,}5$$
Aus (I): \(b = -3 - 2{,}5 = -5{,}5\)
$$\boxed{p(x) = 2{,}5x^2 - 5{,}5}$$
Berechnen Sie die Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(p\).
$$f(x) = p(x)$$
$$-0{,}2x^4 + 2{,}5x^2 - 2{,}3 = 2{,}5x^2 - 5{,}5$$
$$-0{,}2x^4 = -3{,}2$$
$$x^4 = 16 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 2$$
y-Koordinaten:
$$p(2) = 2{,}5 \cdot 4 - 5{,}5 = 10 - 5{,}5 = 4{,}5$$
Schnittpunkte:
$$S_1(-2 \mid 4{,}5) \quad \text{und} \quad S_2(2 \mid 4{,}5)$$
Probe: \(f(2) = -0{,}2 \cdot 16 + 2{,}5 \cdot 4 - 2{,}3 = -3{,}2 + 10 - 2{,}3 = 4{,}5\) ✓
$$f(x) = -0{,}5x^3 - x^2 + 2x + 4 \;;\quad x \in \mathbb{R}$$
$$p(x) = 0{,}5x^2 + 4 \;;\quad x \in \mathbb{R}$$
Bestimmen Sie rechnerisch die x-Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen von \(f\) und \(p\).
$$f(x) = p(x)$$
$$-0{,}5x^3 - x^2 + 2x + 4 = 0{,}5x^2 + 4$$
$$-0{,}5x^3 - 1{,}5x^2 + 2x = 0$$
$$-0{,}5x(x^2 + 3x - 4) = 0$$
Faktor 1: \(x_1 = 0\)
Faktor 2: \(x^2 + 3x - 4 = 0\)
$$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$
$$x_2 = 1 \qquad x_3 = -4$$
Schnittpunkte bei: \(x = -4\), \(x = 0\), \(x = 1\)
Die Graphen von \(f\) und \(p\) schließen die in Abbildung 1 markierte Fläche ein. Diese besteht aus zwei Teilflächen. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.
Differenzfunktion: \(d(x) = f(x) - p(x) = -0{,}5x^3 - 1{,}5x^2 + 2x\)
Vorzeichen prüfen: bei \(x = -2\): \(d(-2) = -0{,}5(-8) - 1{,}5(4) - 4 = 4 - 6 - 4 = -6 < 0\)
→ Auf \([-4;\,0]\): \(p(x) \geq f(x)\), also \(d(x) \leq 0\)
→ Auf \([0;\,1]\): \(d(0{,}5) = -0{,}5(0{,}125) - 1{,}5(0{,}25) + 1 = 0{,}5625 > 0\) → \(f(x) \geq p(x)\)
Stammfunktion von \(d(x)\):
$$D(x) = -\frac{x^4}{8} - \frac{x^3}{2} + x^2$$
Teilfläche 1 (\([-4;\,0]\), \(p \geq f\)):
$$D(0) = 0 \qquad D(-4) = -\frac{256}{8} - \frac{-64}{2} + 16 = -32 + 32 + 16 = 16$$
$$A_1 = \left|\int_{-4}^{0} d(x)\, dx\right| = |D(0) - D(-4)| = |0 - 16| = 16 \text{ FE}$$
Teilfläche 2 (\([0;\,1]\), \(f \geq p\)):
$$D(1) = -\frac{1}{8} - \frac{1}{2} + 1 = -0{,}125 - 0{,}5 + 1 = 0{,}375 = \frac{3}{8}$$
$$A_2 = \int_{0}^{1} d(x)\, dx = D(1) - D(0) = \frac{3}{8} - 0 = \frac{3}{8} \text{ FE}$$
Gesamtfläche:
$$A = A_1 + A_2 = 16 + \frac{3}{8} = \frac{131}{8} = 16{,}375 \text{ FE}$$
Berechnen Sie den Wert des bestimmten Integrals: $$I = \int_{-4}^{1} \bigl(f(x) - p(x)\bigr)\, dx$$ Dieser Wert unterscheidet sich vom Zahlenwert der Lösung unter 2.2. Erklären Sie, wie es zu dem Unterschied kommt.
$$I = \int_{-4}^{1} d(x)\, dx = D(1) - D(-4) = \frac{3}{8} - 16 = -\frac{125}{8} = -15{,}625$$
Erklärung des Unterschieds:
Im Intervall \([-4;\,0]\) ist \(f(x) - p(x) < 0\), das Integral ist dort negativ und liefert \(-16\). Im Intervall \([0;\,1]\) ist das Integral positiv und liefert \(+\frac{3}{8}\).
Das bestimmte Integral \(I = -16 + \frac{3}{8} = -15{,}625\) hebt die negativen Werte nicht auf – es werden positive und negative Flächenanteile subtrahiert. Für den geometrischen Flächeninhalt muss jedes Teilintervall separat mit Betrag berechnet werden:
$$A = |-16| + \frac{3}{8} = 16{,}375 \neq |{-15{,}625}|$$
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion \(f\).
$$f(x) = -0{,}5x^3 - x^2 + 2x + 4 = 0 \quad |\cdot (-2)$$
$$x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = 0$$
Probe \(x = 2\): \(8 + 8 - 8 - 8 = 0\) ✓ → \((x - 2)\) ist Faktor.
Polynomdivision:
$$(x^3 + 2x^2 - 4x - 8) \div (x - 2) = x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$
$$\Rightarrow x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = (x - 2)(x + 2)^2$$
Nullstellen:
$$x_1 = 2 \quad \text{(einfach)} \qquad x_2 = -2 \quad \text{(doppelt)}$$
Nullstellen des Graphen: \(N_1(-2 \mid 0)\) (Berührnullstelle, kein VZW) und \(N_2(2 \mid 0)\).
Der Graph von \(f\) schließt mit den Koordinatenachsen im II. Quadranten eine Fläche ein. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Flächeninhalt dieser Fläche \(\frac{10}{3}\) FE beträgt.
Im II. Quadranten liegt \(f\) zwischen \(x = -2\) (Nullstelle) und \(x = 0\) (y-Achse). In diesem Bereich gilt \(f(x) \geq 0\).
Stammfunktion:
$$F(x) = -\frac{x^4}{8} - \frac{x^3}{3} + x^2 + 4x$$
Berechnung:
$$F(0) = 0$$
$$F(-2) = -\frac{16}{8} - \frac{-8}{3} + 4 + (-8) = -2 + \frac{8}{3} + 4 - 8 = -6 + \frac{8}{3} = \frac{-18 + 8}{3} = -\frac{10}{3}$$
$$\int_{-2}^{0} f(x)\, dx = F(0) - F(-2) = 0 - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \text{ FE} \quad \checkmark$$
Zeichnen Sie das Dreieck mit den Eckpunkten \(P(-2 \mid 0)\), \(Q(0 \mid 4)\) und \(R(0 \mid 0)\) in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
Beurteilen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist: „Der Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten \(P(-2|0)\), \(Q(0|4)\) und \(R(0|0)\) ist höchstens um 10 % größer als die Fläche, die der Graph von \(f\) mit den Koordinatenachsen im II. Quadranten einschließt."
Flächeninhalt des Dreiecks:
Basis: \(|RQ| = 4\) (entlang y-Achse von \((0|0)\) zu \((0|4)\))
Höhe: Abstand von \(P(-2|0)\) zur y-Achse = \(2\)
$$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4 \text{ FE}$$
Beurteilung der Aussage:
Fläche aus 2.5: \(A_f = \frac{10}{3} \approx 3{,}\overline{3}\) FE
„Höchstens 10 % größer" bedeutet: \(A_{\text{Dreieck}} \leq 1{,}1 \cdot A_f\)
$$1{,}1 \cdot \frac{10}{3} = \frac{11}{3} \approx 3{,}67 \text{ FE}$$
$$A_{\text{Dreieck}} = 4 > \frac{11}{3} \approx 3{,}67$$
Tatsächliche prozentuale Abweichung:
$$\frac{4 - \frac{10}{3}}{\frac{10}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{3}} = \frac{2}{10} = 20\,\%$$
Die Aussage ist falsch. Das Dreieck ist um 20 % größer, nicht höchstens 10 %.
Jeder Teilnehmer gibt drei Schüsse nacheinander ab.
Erstellen Sie ein Baumdiagramm für die ersten drei Schüsse mit allen Zweigwahrscheinlichkeiten.
Abkürzungen: T = Treffer, F = Fehlschuss
3. Schuss – Wahrscheinlichkeiten:
Start
0,6/ \0,4
T F
0,65/ \0,35 0,55/ \0,45
T F T F
0,70/ \0,30 0,60/ \0,40 0,60/ \0,40 0,50/ \0,50
T F T F T F T F
TTT TTF TFT TFF FTT FTF FFT FFF
Pfadwahrscheinlichkeiten (alle 8):
| Pfad | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| TTT | \(0{,}6 \cdot 0{,}65 \cdot 0{,}70\) | 0,273 |
| TTF | \(0{,}6 \cdot 0{,}65 \cdot 0{,}30\) | 0,117 |
| TFT | \(0{,}6 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}60\) | 0,126 |
| TFF | \(0{,}6 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}40\) | 0,084 |
| FTT | \(0{,}4 \cdot 0{,}55 \cdot 0{,}60\) | 0,132 |
| FTF | \(0{,}4 \cdot 0{,}55 \cdot 0{,}40\) | 0,088 |
| FFT | \(0{,}4 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}50\) | 0,090 |
| FFF | \(0{,}4 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}50\) | 0,090 |
| Summe | 1,000 ✓ | |
Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
\(E_1\): „Alle drei Schüsse sind Treffer." | \(E_2\): „Genau ein Schuss ist ein Fehlschuss, die anderen beiden sind Treffer." | \(E_3\): „Der zweite Schuss ist ein Treffer."
\(E_1\): Pfad TTT:
$$P(E_1) = 0{,}273$$
\(E_2\): Pfade TTF, TFT, FTT (genau ein F):
$$P(E_2) = 0{,}117 + 0{,}126 + 0{,}132 = \mathbf{0{,}375}$$
\(E_3\): Alle Pfade, bei denen der 2. Schuss ein T ist (TTT, TTF, FTT, FTF):
$$P(E_3) = 0{,}273 + 0{,}117 + 0{,}132 + 0{,}088 = \mathbf{0{,}61}$$
Ein Schütze hat bei den drei Schüssen genau einen Treffer. Untersuchen Sie, welches der folgenden Ereignisse die größere Wahrscheinlichkeit hat:
\(E_4\): „Nur der erste Schuss ist ein Treffer." | \(E_5\): „Nur der dritte Schuss ist ein Treffer."
\(E_4\) entspricht dem Pfad TFF:
$$P(E_4) = 0{,}6 \cdot 0{,}35 \cdot 0{,}40 = \mathbf{0{,}084}$$
\(E_5\) entspricht dem Pfad FFT:
$$P(E_5) = 0{,}4 \cdot 0{,}45 \cdot 0{,}50 = \mathbf{0{,}090}$$
Da \(P(E_5) = 0{,}090 > P(E_4) = 0{,}084\), hat das Ereignis \(\mathbf{E_5}\) die größere Wahrscheinlichkeit.
In einem Schützenverein wurden 250 Schüsse aufgezeichnet (Jugendliche J und Erwachsene E):
Erstellen Sie eine Vierfeldertafel, die diesen Sachverhalt darstellt.
| T (Treffer) | F (Fehlschuss) | Σ | |
|---|---|---|---|
| J (Jugendliche) | 80 | 65 | 145 |
| E (Erwachsene) | 70 | 35 | 105 |
| Σ | 150 | 100 | 250 |
Berechnung:
Ein Schütze des Vereins hat nicht getroffen. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der dieser Schütze ein Erwachsener ist.
Gesucht: \(P(E \mid F)\) – bedingt auf Fehlschüsse (Spalte F: 100 gesamt, davon 35 von E)
$$P(E \mid F) = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 0{,}35 = 35\,\%$$
Zeigen Sie, dass die folgenden Ereignisse stochastisch abhängig sind: \(J\): „Der Schütze ist ein Jugendlicher." \(T\): „Der Schütze trifft."
Prüfung: Unabhängigkeit gilt genau dann, wenn \(P(J \cap T) = P(J) \cdot P(T)\).
$$P(J) = \frac{145}{250} = 0{,}58 \qquad P(T) = \frac{150}{250} = 0{,}6$$
$$P(J \cap T) = \frac{80}{250} = 0{,}32$$
$$P(J) \cdot P(T) = 0{,}58 \cdot 0{,}6 = 0{,}348$$
$$0{,}32 \neq 0{,}348$$
Da \(P(J \cap T) \neq P(J) \cdot P(T)\), sind J und T stochastisch abhängig. ✓
In einem anderen Verein geht man davon aus, dass J und T stochastisch unabhängig sind. Vervollständigen Sie unter dieser Voraussetzung die folgende Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeitswerten. [Verwenden Sie die exakten Werte ohne Rundung!]
| T | F | Σ | |
|---|---|---|---|
| J | ? | ? | 0,575 |
| E | ? | ? | ? |
| Σ | 0,6 | ? | 1 |
Gegebene Werte: \(P(J) = 0{,}575\), \(P(T) = 0{,}6\)
Abgeleitete Randwahrscheinlichkeiten:
$$P(E) = 1 - 0{,}575 = 0{,}425 \qquad P(F) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$$
Unter Unabhängigkeit gilt \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\):
$$P(J \cap T) = 0{,}575 \cdot 0{,}6 = \mathbf{0{,}345}$$
$$P(J \cap F) = 0{,}575 \cdot 0{,}4 = \mathbf{0{,}23}$$
$$P(E \cap T) = 0{,}425 \cdot 0{,}6 = \mathbf{0{,}255}$$
$$P(E \cap F) = 0{,}425 \cdot 0{,}4 = \mathbf{0{,}17}$$
| T | F | Σ | |
|---|---|---|---|
| J | 0,345 | 0,23 | 0,575 |
| E | 0,255 | 0,17 | 0,425 |
| Σ | 0,6 | 0,4 | 1 |
Probe: Alle Zeilen- und Spaltensummen stimmen ✓