Komplette Vorbereitung: Funktionsuntersuchung · Integralrechnung · Stochastik
Die FOS-Abschlussprüfung Mathematik (Berlin) besteht aus 3 Teilen mit insgesamt 100 Punkten:
Bearbeitungszeit: 180 Minuten. Erlaubte Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner, Formelsammlung.
Ganzrationale Funktion im Sachkontext – alle Standardschritte der Kurvendiskussion
Mathematisch ist \(\mathbb{D} = \mathbb{R}\) für ganzrationale Funktionen. Im Sachkontext schränkt man auf sinnvolle Werte ein:
$$\mathbb{D} = [0;\, 20]$$
wenn z.B. \(x = 0\) dem Jahr 2000 und \(x = 20\) dem Jahr 2020 entspricht.
Setze die vorgegebenen \(x\)-Werte in \(f(x)\) ein und runde wie angegeben.
Gegeben: \(f(x) = -0{,}02x^4 + 9x^2 + 1800\). Berechne \(f(0)\), \(f(5)\), \(f(10)\), \(f(15)\), \(f(20)\).
\(f(0) = -0{,}02 \cdot 0 + 9 \cdot 0 + 1800 = \mathbf{1800}\)
\(f(5) = -0{,}02 \cdot 625 + 9 \cdot 25 + 1800 = -12{,}5 + 225 + 1800 = \mathbf{2013}\) (gerundet)
\(f(10) = -0{,}02 \cdot 10000 + 9 \cdot 100 + 1800 = -200 + 900 + 1800 = \mathbf{2500}\)
\(f(15) = -0{,}02 \cdot 50625 + 9 \cdot 225 + 1800 = -1012{,}5 + 2025 + 1800 = \mathbf{2813}\) (gerundet)
\(f(20) = -0{,}02 \cdot 160000 + 9 \cdot 400 + 1800 = -3200 + 3600 + 1800 = \mathbf{2200}\)
| \(x\) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 1800 | 2013 | 2500 | 2813 | 2200 |
Wenn alle berechneten Funktionswerte positiv sind und die Funktion ein Minimum hat, das ebenfalls positiv ist, dann gibt es keine Nullstelle im Intervall.
Alternativ: Zeige, dass das globale Minimum im Intervall \(> 0\) ist.
Weisen Sie rechnerisch nach, dass die Besucherzahl zwischen 2000 und 2020 zu keinem Zeitpunkt Null betrug.
Schritt 1: Minimum im Intervall \([0; 20]\) finden.
$$f'(x) = -0{,}08x^3 + 18x$$
$$f'(x) = 0 \Rightarrow x(-0{,}08x^2 + 18) = 0$$
$$x_1 = 0 \quad \text{oder} \quad x^2 = \frac{18}{0{,}08} = 225 \Rightarrow x_{2,3} = \pm 15$$
Schritt 2: Randwerte und kritische Stellen prüfen:
\(f(0) = 1800\), \(f(15) \approx 2813\), \(f(20) = 2200\)
Schritt 3: Prüfe, ob \(x = 0\) ein Minimum ist: \(f''(x) = -0{,}24x^2 + 18\), \(f''(0) = 18 > 0\) → lokales Minimum.
Das Minimum im Intervall ist \(f(0) = 1800 > 0\).
Ergebnis: Da der kleinste Funktionswert \(1800\) beträgt, war die Besucherzahl im gesamten Zeitraum stets positiv – es gab keine Nullstelle.
Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0\)
Hinreichende Bedingung: \(f''(x_0) < 0\) → Hochpunkt, \(f''(x_0) > 0\) → Tiefpunkt
Funktionswert: \(f(x_0)\) berechnen → y-Koordinate des Extrempunkts
Berechnen Sie das Jahr, in dem die Besucherzahl am höchsten war, und geben Sie die höchste Besucherzahl an.
\(f(x) = -0{,}02x^4 + 9x^2 + 1800\)
1. Ableitung und Nullstellen:
$$f'(x) = -0{,}08x^3 + 18x = x(-0{,}08x^2 + 18) = 0$$
$$x_1 = 0, \quad x^2 = 225 \Rightarrow x_2 = 15 \quad (x_3 = -15 \text{ entfällt im Sachkontext})$$
2. Hinreichende Bedingung:
$$f''(x) = -0{,}24x^2 + 18$$
$$f''(15) = -0{,}24 \cdot 225 + 18 = -54 + 18 = -36 < 0 \quad \checkmark \text{ Hochpunkt}$$
3. Funktionswert:
$$f(15) = -0{,}02 \cdot 50625 + 9 \cdot 225 + 1800 = -1012{,}5 + 2025 + 1800 = 2812{,}5 \approx 2813$$
Ergebnis: Die höchste Besucherzahl war im Jahr 2015 (\(x = 15\)) mit ca. 2813 Besuchern.
$$m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$$
Das ist die durchschnittliche Änderung pro x-Einheit (pro Jahr) im Intervall \([x_1;\, x_2]\).
Die Gerade \(g\) verläuft durch \(P_1(5|f(5))\) und \(P_2(15|f(15))\). Ermitteln Sie den Anstieg und beurteilen Sie ihn im Sachzusammenhang.
$$m = \frac{f(15) - f(5)}{15 - 5} = \frac{2813 - 2013}{10} = \frac{800}{10} = 80$$
Deutung: Zwischen 2005 und 2015 stieg die Besucherzahl im Durchschnitt um 80 Besucher pro Jahr.
Geradengleichung:
$$g(x) = 80(x - 5) + 2013 = 80x + 1613$$
$$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$$
Im Jahr 2010 (\(x = 10\)) wird vermutet, die Zunahme sei ab jetzt linear. Bestimmen Sie die Tangente im Punkt \(P_3(10|f(10))\) und berechnen Sie die Besucherzahl im Jahr 2020."
1. Funktionswert:
$$f(10) = -0{,}02 \cdot 10000 + 9 \cdot 100 + 1800 = 2500$$
2. Ableitung und Steigung:
$$f'(x) = -0{,}08x^3 + 18x$$
$$f'(10) = -0{,}08 \cdot 1000 + 180 = -80 + 180 = 100$$
3. Tangente aufstellen:
$$t(x) = 100(x - 10) + 2500 = 100x + 1500$$
4. Besucherzahl 2020 (linear):
$$t(20) = 100 \cdot 20 + 1500 = 3500$$
Ergebnis: Bei linearer Entwicklung ab 2010 wären im Jahr 2020 ca. 3500 Besucher zu erwarten gewesen.
Vergleich: Tatsächlich ergibt \(f(20) = 2200\), also deutlich weniger – die Besucherzahl wuchs nicht linear weiter.
Wenn ein Punkt \((x_0 | y_0)\) auf dem Graphen liegen soll:
$$h(x_0) = y_0 \quad \Rightarrow \quad \text{nach } a \text{ auflösen}$$
Bei geringeren Eintrittspreisen hätten 2010 (\(x = 10\)) 2800 Besucher das Museum besucht. Die Funktion lautet \(h(x) = -0{,}02x^4 + ax^2 + 1800\). Ermitteln Sie \(a\).
Bedingung: \(h(10) = 2800\)
$$-0{,}02 \cdot 10000 + a \cdot 100 + 1800 = 2800$$
$$-200 + 100a + 1800 = 2800$$
$$100a + 1600 = 2800$$
$$100a = 1200$$
$$a = 12 \quad \checkmark$$
Die Besucherzahl steigt am stärksten, wenn \(f'(x)\) maximal ist.
Vorgehen: Maximum von \(f'(x)\) finden → \(f''(x) = 0\) setzen, dann \(f'''(x_0) < 0\) prüfen.
Untersuchen Sie: Wenn \(h(x) = -0{,}02x^4 + 12x^2 + 1800\), wäre die Besucherzahl im Jahr 2010 (\(x = 10\)) am stärksten gestiegen.
1. Ableitungen:
$$h'(x) = -0{,}08x^3 + 24x$$
$$h''(x) = -0{,}24x^2 + 24$$
$$h'''(x) = -0{,}48x$$
2. Maximum von \(h'\) finden: \(h''(x) = 0\)
$$-0{,}24x^2 + 24 = 0 \Rightarrow x^2 = 100 \Rightarrow x = 10$$
3. Prüfen: \(h'''(10) = -0{,}48 \cdot 10 = -4{,}8 < 0\) → \(h'(x)\) hat bei \(x = 10\) ein Maximum ✓
Ergebnis: Die Behauptung stimmt. Im Jahr 2010 war der Anstieg der Besucherzahl maximal.
Stammfunktionen, bestimmtes Integral, Flächen unter Kurven und zwischen Graphen
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
$$A = \left| \int_a^b f(x) \, dx \right|$$
Falls \(f(x)\) das Vorzeichen wechselt: Intervall an der Nullstelle aufteilen!
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$$
Wenn \(f(x) \geq g(x)\) im Intervall: \(A = \int_a^b [f(x) - g(x)] \, dx\)
Wenn der Graph stückweise linear ist, zerlege die Fläche in Dreiecke und Trapeze:
$$A_{\text{Dreieck}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \qquad A_{\text{Trapez}} = \frac{1}{2}(a + b) \cdot h$$
Ein Fahrzeug fährt: 0–10 s ansteigend auf 30 m/s, 10–14 s konstant 30 m/s, 14–19 s abfallend auf 0 m/s. Berechne die Teilflächen und die Gesamtstrecke.
A₁ (Dreieck, 0–10 s): \(\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 30 = 150\) m
A₂ (Rechteck, 10–14 s): \(4 \cdot 30 = 120\) m
A₃ (Dreieck, 14–19 s): Die Fläche ergibt sich als Trapez oder Dreieck je nach Graph.
Angenommen Dreieck: \(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 30 = 75\) m → aber mit exakter Ablesung: hier z.B. Trapez \(\frac{1}{2}(30 + 15) \cdot 5 = 112{,}5\) m
Gesamtstrecke: \(s = A_1 + A_2 + A_3 = 150 + 120 + 112{,}5 = 382{,}5\) m ✓
$$\bar{v} = \frac{\text{Gesamtstrecke}}{\text{Gesamtzeit}} = \frac{s_{\text{gesamt}}}{t_{\text{gesamt}}}$$
Oder allgemein als Integralmittelwert:
$$\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\, dx$$
\(s_{\text{gesamt}} = 382{,}5\) m, Gesamtzeit = 19 s.
$$\bar{v} = \frac{382{,}5}{19} \approx 20{,}13 \text{ m/s}$$
Setze \(x_0\) in \(f(x)\) ein. Kommt \(y_0\) heraus, liegt der Punkt auf dem Graphen.
Zeige, dass \((0|0)\) und \((10|30)\) auf \(f(x) = -\frac{1}{1000}x^4 + \frac{2}{5}x^2\) liegen.
\(f(0) = 0\) ✓ → Koordinatenursprung liegt auf dem Graphen
\(f(10) = -\frac{10000}{1000} + \frac{200}{5} = -10 + 40 = 30\) ✓ → \((10|30)\) liegt auf dem Graphen
Berechnen Sie \(\int_0^{10} \left(-\frac{1}{1000}x^4 + \frac{2}{5}x^2\right) dx\) und deuten Sie das Ergebnis als Strecke.
Stammfunktion:
$$F(x) = -\frac{1}{5000}x^5 + \frac{2}{15}x^3$$
Einsetzen:
$$F(10) = -\frac{100000}{5000} + \frac{2000}{15} = -20 + 133{,}\overline{3} = 113{,}\overline{3}$$
$$F(0) = 0$$
$$\int_0^{10} f(x)\, dx = 113{,}\overline{3} - 0 \approx 113{,}3 \text{ m}$$
Deutung: Das Fahrzeug hat in den ersten 10 Sekunden ca. 113,3 m zurückgelegt.
\(f(x) = -\frac{1}{1000}x^4 + \frac{2}{5}x^2\) und \(g(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 4x + 10\), Intervall \([0; 10]\).
Berechnen Sie die Fläche zwischen den Graphen und deuten Sie das Ergebnis.
Differenzfunktion:
$$g(x) - f(x) = -\frac{1}{5}x^2 + 4x + 10 + \frac{1}{1000}x^4 - \frac{2}{5}x^2$$
$$= \frac{1}{1000}x^4 - \frac{3}{5}x^2 + 4x + 10$$
Integration:
$$\int_0^{10}\left[\frac{1}{1000}x^4 - \frac{3}{5}x^2 + 4x + 10\right]dx$$
$$= \left[\frac{1}{5000}x^5 - \frac{1}{5}x^3 + 2x^2 + 10x\right]_0^{10}$$
$$= \frac{100000}{5000} - \frac{1000}{5} + 200 + 100 = 20 - 200 + 200 + 100 = 120$$
Deutung: Die Fläche von 120 (FE) bedeutet: Das zweite Fahrzeug hat in 10 Sekunden 120 m mehr zurückgelegt als das erste.
Bestimmtes Integral berechnen (enthält Parameter \(a\)), gleich dem gegebenen Flächeninhalt setzen, nach \(a\) auflösen.
\(h(x) = ax^2 - 22{,}8x + 231{,}6\), Intervall \([14; 19]\). Die Fläche zwischen Graph und x-Achse soll genau 100 FE betragen. Bestimme \(a\).
Stammfunktion:
$$H(x) = \frac{a}{3}x^3 - 11{,}4x^2 + 231{,}6x$$
Einsetzen:
$$\int_{14}^{19} h(x)\, dx = H(19) - H(14)$$
$$H(19) = \frac{a}{3} \cdot 6859 - 11{,}4 \cdot 361 + 231{,}6 \cdot 19 = \frac{6859a}{3} - 4115{,}4 + 4400{,}4$$
$$H(14) = \frac{a}{3} \cdot 2744 - 11{,}4 \cdot 196 + 231{,}6 \cdot 14 = \frac{2744a}{3} - 2234{,}4 + 3242{,}4$$
Differenz:
$$H(19) - H(14) = \frac{6859a - 2744a}{3} + (-4115{,}4 + 4400{,}4) - (-2234{,}4 + 3242{,}4)$$
$$= \frac{4115a}{3} + 285 - 1008 = \frac{4115a}{3} - 723$$
Gleichsetzen:
$$\frac{4115a}{3} - 723 = 100$$
$$\frac{4115a}{3} = 823$$
$$a = \frac{823 \cdot 3}{4115} = \frac{2469}{4115} = 0{,}6$$
Baumdiagramm, Wahrscheinlichkeiten, Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit
1. Pfadregel (Multiplikation): Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades multiplizieren.
2. Pfadregel (Addition): Wahrscheinlichkeiten verschiedener Pfade zum selben Ergebnis addieren.
$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$
$$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Aus der Vierfeldertafel: Einschränken auf die Spalte/Zeile von B, dann den Anteil von A ablesen.
Zwei Ereignisse \(E_4\) und \(E_5\) sind stochastisch unabhängig, wenn gilt:
$$P(E_4 \cap E_5) = P(E_4) \cdot P(E_5)$$
Alternativ: \(P(E_4 | E_5) = P(E_4)\)
In einem Unternehmen: 25 % vierstellige, 75 % fünfstellige Passwörter. Von den vierstelligen bestehen ⅓ nur aus Buchstaben. Von den fünfstelligen bestehen 80 % aus Ziffern und Buchstaben.
Abkürzungen: V = vierstellig, F = fünfstellig, B = nur Buchstaben, Z = Ziffern und Buchstaben
1. Stufe: \(P(V) = 0{,}25\), \(P(F) = 0{,}75\)
2. Stufe (bei V): \(P(B|V) = \frac{1}{3}\), \(P(Z|V) = \frac{2}{3}\)
2. Stufe (bei F): \(P(Z|F) = 0{,}8\), \(P(B|F) = 0{,}2\)
Start
/ \
0,25/ \0,75
/ \
V F
/ \ / \
1/3 2/3 0,8 0,2
/ \ / \
B Z Z B
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten:
\(E_1\): Nur Buchstaben (2. Pfadregel – beide Pfade zu „B" addieren):
$$P(E_1) = P(V \cap B) + P(F \cap B) = 0{,}25 \cdot \tfrac{1}{3} + 0{,}75 \cdot 0{,}2$$
$$= 0{,}08\overline{3} + 0{,}15 = 0{,}23\overline{3} \approx 0{,}233$$
\(E_2\): Fünfstellig UND Ziffern+Buchstaben (1. Pfadregel – ein Pfad):
$$P(E_2) = P(F \cap Z) = 0{,}75 \cdot 0{,}8 = 0{,}6$$
\(E_3\): Fünfstellig ODER nur Buchstaben (Additionssatz):
$$P(E_3) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$
$$= 0{,}75 + 0{,}23\overline{3} - 0{,}15 = 0{,}83\overline{3} \approx 0{,}833$$
Zeilen und Spalten sind die beiden Merkmale. Die Ränder ergeben die Summen.
220 Befragte, davon 25 % Auszubildende (= 55). Von den Azubis hatten 35 ein fünfstelliges Passwort. Insgesamt hatten 155 ein fünfstelliges Passwort.
A = Auszubildende, \(\bar{A}\) = keine Azubis, F = fünfstellig, \(\bar{F}\) = vierstellig
| A | \(\bar{A}\) | Σ | |
|---|---|---|---|
| F (fünfstellig) | 35 | 120 | 155 |
| \(\bar{F}\) (vierstellig) | 20 | 45 | 65 |
| Σ | 55 | 165 | 220 |
Berechnung der fehlenden Felder:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Person ein vierstelliges Passwort hat?
$$P(\bar{F}) = \frac{65}{220} = \frac{13}{44} \approx 0{,}295 \approx 29{,}5\,\%$$
$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\text{Feld „A und B"}}{\text{Spalte/Zeile von B (Summe)"}}$$
Aus der Gruppe mit vierstelligen Passwörtern wird eine Person gewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein Azubi ist?
Bedingung: nur vierstellige Passwörter → Zeile \(\bar{F}\) mit Summe 65.
$$P(A|\bar{F}) = \frac{20}{65} = \frac{4}{13} \approx 0{,}308 \approx 30{,}8\,\%$$
Berechne beide Seiten der Gleichung und vergleiche:
$$P(E_4 \cap E_5) \stackrel{?}{=} P(E_4) \cdot P(E_5)$$
Gleich → unabhängig. Ungleich → abhängig.
\(E_4\): Person ist Azubi. \(E_5\): Person hat fünfstelliges Passwort. Sind \(E_4\) und \(E_5\) stochastisch unabhängig?
Linke Seite:
$$P(E_4 \cap E_5) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44} \approx 0{,}1591$$
Rechte Seite:
$$P(E_4) \cdot P(E_5) = \frac{55}{220} \cdot \frac{155}{220} = \frac{1}{4} \cdot \frac{31}{44} = \frac{31}{176} \approx 0{,}1761$$
Vergleich:
$$0{,}1591 \neq 0{,}1761$$
Ergebnis: \(E_4\) und \(E_5\) sind nicht stochastisch unabhängig.
Das musst du können – geh jeden Punkt durch
Der Wasserstand eines Sees wird durch \(f(x) = -0{,}01x^4 + 0{,}4x^3 - 4x^2 + 12x + 50\) modelliert, wobei \(x\) die Monate nach Januar 2020 und \(f(x)\) den Wasserstand in cm über Normal angibt. Es gilt \(0 \leq x \leq 24\).
a)
\(f(0) = 50\)
\(f(6) = -0{,}01 \cdot 1296 + 0{,}4 \cdot 216 - 4 \cdot 36 + 72 + 50 = -12{,}96 + 86{,}4 - 144 + 72 + 50 = 51{,}44 \approx 51\)
\(f(12) = -0{,}01 \cdot 20736 + 0{,}4 \cdot 1728 - 4 \cdot 144 + 144 + 50 = -207{,}36 + 691{,}2 - 576 + 144 + 50 = 101{,}84 \approx 102\)
\(f(18) = -0{,}01 \cdot 104976 + 0{,}4 \cdot 5832 - 4 \cdot 324 + 216 + 50 = -1049{,}76 + 2332{,}8 - 1296 + 216 + 50 = 253{,}04 \approx 253\)
\(f(24) = -0{,}01 \cdot 331776 + 0{,}4 \cdot 13824 - 4 \cdot 576 + 288 + 50 = -3317{,}76 + 5529{,}6 - 2304 + 288 + 50 = 245{,}84 \approx 246\)
b) \(f'(x) = -0{,}04x^3 + 1{,}2x^2 - 8x + 12\) → Extrempunkte durch \(f'(x) = 0\) und hinreichende Bedingung.
c)
\(f'(6) = -0{,}04 \cdot 216 + 1{,}2 \cdot 36 - 48 + 12 = -8{,}64 + 43{,}2 - 48 + 12 = -1{,}44\)
$$t(x) = -1{,}44(x - 6) + 51{,}44 = -1{,}44x + 60{,}08$$
$$t(12) = -1{,}44 \cdot 12 + 60{,}08 = -17{,}28 + 60{,}08 = 42{,}8 \approx 43$$
Bei linearer Fortsetzung wäre der Wasserstand nach 12 Monaten ca. 43 cm.
Die Geschwindigkeit eines Fahrrads wird beschrieben durch \(v(t) = -0{,}06t^2 + 1{,}2t\) (in m/s, \(0 \leq t \leq 20\)).
a) \(v(0) = 0\) ✓, \(v(20) = -0{,}06 \cdot 400 + 24 = -24 + 24 = 0\) ✓
b) \(v'(t) = -0{,}12t + 1{,}2 = 0 \Rightarrow t = 10\)
\(v(10) = -0{,}06 \cdot 100 + 12 = -6 + 12 = 6\) m/s
c)
$$s = \int_0^{20} (-0{,}06t^2 + 1{,}2t)\, dt = \left[-0{,}02t^3 + 0{,}6t^2\right]_0^{20}$$
$$= -0{,}02 \cdot 8000 + 0{,}6 \cdot 400 = -160 + 240 = 80 \text{ m}$$
d) \(\bar{v} = \frac{80}{20} = 4\) m/s
In einem Sportverein mit 300 Mitgliedern sind 40 % männlich. Von den männlichen Mitgliedern trainieren 60 % mehr als zweimal pro Woche. Von den weiblichen trainieren 45 % mehr als zweimal pro Woche.
a) Baumdiagramm: M = männlich, W = weiblich, T = trainiert >2x, \(\bar{T}\) = nicht
\(P(M) = 0{,}4\), \(P(W) = 0{,}6\)
\(P(T|M) = 0{,}6\), \(P(T|W) = 0{,}45\)
b) Totale Wahrscheinlichkeit:
$$P(T) = P(M) \cdot P(T|M) + P(W) \cdot P(T|W) = 0{,}4 \cdot 0{,}6 + 0{,}6 \cdot 0{,}45 = 0{,}24 + 0{,}27 = 0{,}51$$
c) Vierfeldertafel:
| M | W | Σ | |
|---|---|---|---|
| T (>2x) | 72 | 81 | 153 |
| \(\bar{T}\) | 48 | 99 | 147 |
| Σ | 120 | 180 | 300 |
d) Bedingte Wahrscheinlichkeit:
$$P(M|T) = \frac{72}{153} = \frac{24}{51} \approx 0{,}471 \approx 47{,}1\,\%$$
e) Unabhängigkeit:
$$P(M \cap T) = \frac{72}{300} = 0{,}24$$
$$P(M) \cdot P(T) = 0{,}4 \cdot 0{,}51 = 0{,}204$$
\(0{,}24 \neq 0{,}204\) → nicht unabhängig
\(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 4x - 3\) im Intervall, in dem \(g(x) \geq f(x)\).
Schnittpunkte: \(x^2 = 4x - 3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0\)
$$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16-12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = 1, \; x_2 = 3$$
Fläche:
$$A = \int_1^3 [(4x-3) - x^2]\, dx = \int_1^3 (-x^2 + 4x - 3)\, dx$$
$$= \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_1^3$$
$$= \left(-9 + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \approx 1{,}33 \text{ FE}$$