FlÀchen unter Kurven & zwischen Funktionsgraphen
$$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$$
Der Betrag stellt sicher, dass FlÀchen unterhalb der x-Achse positiv gezÀhlt werden.
Löse \(f(x) = 0\) im Intervall \([a, b]\) â Teile den Integrationsbereich an den Nullstellen auf.
Bestimme in jedem Teilintervall, ob der Graph oberhalb (positiv) oder unterhalb (negativ) der x-Achse liegt.
Berechne jedes Teilintegral. Bei FlÀchen unterhalb der x-Achse den Betrag nehmen.
Summiere alle TeilflÀchen: \(A = |A_1| + |A_2| + \ldots\)
Berechne den FlÀcheninhalt, der vom Graphen von \(f(x) = x^4 - 10x^2 + 9\) und der x-Achse im Intervall \([-2, 3]\) eingeschlossen wird.
$$f(x) = 0 \Rightarrow x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$
Substitution \(z = x^2\): \(z^2 - 10z + 9 = 0\)
$$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 9} = 5 \pm 4$$
$$z_1 = 9, \quad z_2 = 1$$
Resubstitution: \(x_{1,2} = \pm 3, \quad x_{3,4} = \pm 1\)
Im Intervall \([-2, 3]\) liegen die Nullstellen \(x = -1, 1, 3\).
Teilintervalle: \(I_1 = [-2, -1]\), \(I_2 = [-1, 1]\), \(I_3 = [1, 3]\)
$$F(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x$$
Auf \(I_2 = [-1, 1]\): \(f(0) = 9 > 0\) â oberhalb der x-Achse
Auf \(I_1\) und \(I_3\): \(f(-1{,}5) < 0\) und \(f(2) < 0\) â unterhalb der x-Achse
$$A = \left|\int_{-2}^{-1} f(x)\,dx\right| + \int_{-1}^{1} f(x)\,dx + \left|\int_{1}^{3} f(x)\,dx\right|$$
$$\approx 40{,}13 \text{ FE}$$
Wenn \(f(x) \geq g(x)\) fĂŒr alle \(x \in [a, b]\), dann berechnet man die FlĂ€che zwischen den Graphen von \(f\) und \(g\) mit:
$$A = \int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right] dx$$
Die obere Funktion minus die untere Funktion.
$$d(x) = f(x) - g(x)$$
Die Schnittpunkte von \(f\) und \(g\) sind die Nullstellen von \(d(x)\).
Löse \(d(x) = 0\), also \(f(x) = g(x)\) â Schnittpunkte der Graphen.
$$A = \int_a^b |d(x)|\,dx = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$
Bei mehreren TeilflÀchen: Aufteilen an den Nullstellen von \(d(x)\).
Man bestimmt die GröĂe der FlĂ€che zwischen den Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\), indem man:
Die Integrationsgrenzen sind die Schnittpunkte von \(f\) und \(g\), die auch die Nullstellen von \(d\) sind.
Berechne die FlÀche zwischen \(f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\) und \(g(x) = x + \frac{1}{4}\).
$$d(x) = f(x) - g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 - x - \frac{1}{4}$$
$$= -\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{15}{4}$$
$$d(x) = 0 \Rightarrow -\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{15}{4} = 0 \quad |\cdot(-4)$$
$$x^2 - 4x - 15 = 0$$
$$x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 15} = 2 \pm \sqrt{19}$$
$$x_1 \approx -2{,}36, \quad x_2 \approx 6{,}36$$
\(d(0) = \frac{15}{4} > 0\) â Im Intervall \([x_1, x_2]\) ist \(d(x) > 0\), d.h. \(f(x) > g(x)\).
Kein Vorzeichenwechsel â keine Betragsstriche nötig.
$$A = \int_{x_1}^{x_2} d(x)\,dx = \int_{x_1}^{x_2} \left(-\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{15}{4}\right) dx$$
$$= \left[-\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{15}{4}x\right]_{x_1}^{x_2}$$
Wenn sich die Funktionsgraphen mehrfach schneiden, muss man die FlÀche in TeilflÀchen aufteilen.
$$A = \left|\int_{x_1}^{x_2} d(x)\,dx\right| + \left|\int_{x_2}^{x_3} d(x)\,dx\right| + \ldots$$
Gegeben: \(f(x) = 0{,}25x^2 - 0{,}5x^2 - 1{,}25x + 3\) und \(g(x) = -0{,}75x^2 + 1{,}5x + 0{,}75x^3 - 3\)
$$d(x) = f(x) - g(x)$$
Nullstellen durch Ausklammern und p-q-Formel bestimmen.
$$x_1 = 1, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 5$$
$$A = A_1 + A_2 = \left|\int_{-2}^{1} d(x)\,dx\right| + \left|\int_{1}^{3} d(x)\,dx\right|$$
$$A \approx 21{,}08 \text{ FE}$$
Ein Hausbesitzer plant ein stufenförmiges Hochbeet (Höhe 80 cm), dessen Begrenzung durch die Funktionen \(f(x) = -\frac{1}{6}x^2 + 8\) und \(g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 6\) bestimmt ist (1 LE = 1 m).
Frage: Wie viele mÂł Erde werden zum BefĂŒllen benötigt?
Die GrundflÀche ist die Differenz der FlÀchen:
$$A = A_1 - A_2$$
wobei \(A_1\) = FlÀche zwischen x-Achse und \(f\), \(A_2\) = FlÀche zwischen x-Achse und \(g\).
Beide Funktionen sind achsensymmetrisch (nur gerade Exponenten). Es genĂŒgt, das Intervall \([0, b]\) zu betrachten und zu verdoppeln.
$$A = 2 \cdot \int_0^b \left[(-\frac{1}{6}x^2 + 8) - (-\frac{1}{4}x^2 + 6)\right] dx$$
$$= 2 \cdot \int_0^b \left(\frac{1}{12}x^2 + 2\right) dx$$
$$= 2 \cdot \left[-\frac{1}{36}x^3 + 2x\right]_0^6 = 2 \cdot \left(-6 + 12\right) = 2 \cdot 6 = 16 \text{ m}^2$$
$$V = \text{GrundflÀche} \cdot \text{Höhe} = 16 \text{ m}^2 \cdot 0{,}8 \text{ m} = 12{,}8 \text{ m}^3$$
Der Graph einer Funktion \(f\) vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse und verlĂ€uft durch den Ursprung sowie den Punkt \(N(4|0)\). Im 1. Quadranten schlieĂt der Graph mit der x-Achse eine FlĂ€che mit dem Inhalt \(A = \frac{256}{15}\) FE ein.
Symmetrie zur y-Achse â nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\)
Durch Ursprung \(f(0) = 0\) â \(e = 0\)
Nullstelle bei \(N(4|0)\): \(f(4) = 0\)
Doppelte Nullstelle im Ursprung (Graph verlÀuft durch den Ursprung).
$$f(4) = 0 \Rightarrow 256a + 16c = 0 \quad \text{(I)}$$
$$\int_0^4 f(x)\,dx = \frac{256}{15} \quad \text{(II)}$$
Aus (I): \(c = -16a\)
Einsetzen in (II) und lösen ergibt: \(a = -\frac{1}{32}\)
$$f(x) = -\frac{1}{32}x^4 + \frac{1}{2}x^2$$