FlÀchen unter Kurven & zwischen Funktionsgraphen
$$A = \int_a^b |f(x)| \, dx$$
Der Betrag stellt sicher, dass FlÀchen unterhalb der x-Achse positiv gezÀhlt werden.
Löse \(f(x) = 0\) im Intervall \([a, b]\) â Teile den Integrationsbereich an den Nullstellen auf.
Bestimme in jedem Teilintervall, ob der Graph oberhalb (positiv) oder unterhalb (negativ) der x-Achse liegt.
Berechne jedes Teilintegral. Bei FlÀchen unterhalb der x-Achse den Betrag nehmen.
Summiere alle TeilflÀchen: \(A = |A_1| + |A_2| + \ldots\)
Berechne den FlĂ€cheninhalt, den der Graph von \(f(x) = -x^3 + 4x\) mit der x-Achse einschlieĂt.
$$f(x) = 0 \Rightarrow -x^3 + 4x = 0 \Rightarrow x(-x^2 + 4) = 0$$
$$x_1 = 0, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = 2$$
$$F(x) = -\frac{1}{4}x^4 + 2x^2$$
\(f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Potenzen). Die FlÀche oberhalb von \([0;2]\) ist gleich groà wie die FlÀche unterhalb auf \([-2;0]\):
$$A = 2 \cdot \left|\int_0^2 (-x^3 + 4x)\,dx\right| = 2 \cdot \left|\left[-\frac{1}{4}x^4 + 2x^2\right]_0^2\right|$$
$$= 2 \cdot \left|(-4 + 8) - 0\right| = 2 \cdot 4 = 8 \text{ FE}$$
$$A_1 = \int_0^2 (-x^3 + 4x)\,dx = 4 \quad (\text{oberhalb der x-Achse})$$
$$A_2 = \int_{-2}^0 (-x^3 + 4x)\,dx = \left[-\frac{1}{4}x^4 + 2x^2\right]_{-2}^0 = 0 - (-4 + 8) = -4 \quad (\text{unterhalb})$$
$$A = |A_1| + |A_2| = 4 + 4 = 8 \text{ FE}$$
$$\int_{-2}^{2} (-x^3 + 4x)\,dx = 0$$
Integral = 0, aber die FlÀche ist \(\neq 0\)! \(\rightarrow\) FlÀchenbilanz \(\neq\) FlÀcheninhalt!
Berechne den FlÀcheninhalt, der vom Graphen von \(f(x) = x^4 - 10x^2 + 9\) und der x-Achse im Intervall \([-2, 3]\) eingeschlossen wird.
$$f(x) = 0 \Rightarrow x^4 - 10x^2 + 9 = 0$$
Substitution \(z = x^2\): \(z^2 - 10z + 9 = 0\)
$$z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{25 - 9} = 5 \pm 4$$
$$z_1 = 9, \quad z_2 = 1$$
Resubstitution: \(x_{1,2} = \pm 3, \quad x_{3,4} = \pm 1\)
Im Intervall \([-2, 3]\) liegen die Nullstellen \(x = -1, 1, 3\).
Teilintervalle: \(I_1 = [-2, -1]\), \(I_2 = [-1, 1]\), \(I_3 = [1, 3]\)
$$F(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x$$
Auf \(I_2 = [-1, 1]\): \(f(0) = 9 > 0\) â oberhalb der x-Achse
Auf \(I_1\) und \(I_3\): \(f(-1{,}5) < 0\) und \(f(2) < 0\) â unterhalb der x-Achse
$$F(x) = \frac{1}{5}x^5 - \frac{10}{3}x^3 + 9x$$
\(A_1\): Intervall \([-2, -1]\) (unterhalb, da \(f(-1{,}5) < 0\)):
$$A_1 = \left|\int_{-2}^{-1} f(x)\,dx\right| = \left|F(-1) - F(-2)\right|$$
$$F(-1) = -\frac{1}{5} + \frac{10}{3} - 9 = \frac{-3 + 50 - 135}{15} = -\frac{88}{15}$$
$$F(-2) = -\frac{32}{5} + \frac{80}{3} - 18 = \frac{-96 + 400 - 270}{15} = \frac{34}{15}$$
$$A_1 = \left|-\frac{88}{15} - \frac{34}{15}\right| = \frac{122}{15}$$
\(A_2\): Intervall \([-1, 1]\) (oberhalb, da \(f(0) = 9 > 0\)). Symmetrie: \(A_2 = 2\cdot\int_0^1 f(x)\,dx\)
$$\int_0^1 f(x)\,dx = F(1) - F(0) = \left(\frac{1}{5} - \frac{10}{3} + 9\right) - 0 = \frac{3 - 50 + 135}{15} = \frac{88}{15}$$
$$A_2 = 2 \cdot \frac{88}{15} = \frac{176}{15}$$
\(A_3\): Intervall \([1, 3]\) (unterhalb, da \(f(2) = 16 - 40 + 9 = -15 < 0\)):
$$F(3) = \frac{243}{5} - \frac{270}{3} + 27 = \frac{243}{5} - 90 + 27 = \frac{243 - 315}{5} = -\frac{72}{5}$$
$$A_3 = \left|F(3) - F(1)\right| = \left|-\frac{72}{5} - \frac{88}{15}\right| = \left|\frac{-216 - 88}{15}\right| = \frac{304}{15}$$
Wenn \(f(x) \geq g(x)\) fĂŒr alle \(x \in [a, b]\), dann berechnet man die FlĂ€che zwischen den Graphen von \(f\) und \(g\) mit:
$$A = \int_a^b \left[ f(x) - g(x) \right] dx$$
Die obere Funktion minus die untere Funktion.
$$d(x) = f(x) - g(x)$$
Die Schnittpunkte von \(f\) und \(g\) sind die Nullstellen von \(d(x)\).
Löse \(d(x) = 0\), also \(f(x) = g(x)\) â Schnittpunkte der Graphen.
$$A = \int_a^b |d(x)|\,dx = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$
Bei mehreren TeilflÀchen: Aufteilen an den Nullstellen von \(d(x)\).
Man bestimmt die GröĂe der FlĂ€che zwischen den Graphen zweier Funktionen \(f\) und \(g\), indem man:
Die Integrationsgrenzen sind die Schnittpunkte von \(f\) und \(g\), die auch die Nullstellen von \(d\) sind.
Berechne die FlÀche zwischen \(f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4\) und \(g(x) = x + \frac{1}{4}\).
$$d(x) = f(x) - g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 4 - x - \frac{1}{4}$$
$$= -\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{15}{4}$$
$$d(x) = 0 \Rightarrow -\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{15}{4} = 0 \quad |\cdot(-4)$$
$$x^2 - 4x - 15 = 0$$
$$x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 15} = 2 \pm \sqrt{19}$$
$$x_1 \approx -2{,}36, \quad x_2 \approx 6{,}36$$
\(d(0) = \frac{15}{4} > 0\) â Im Intervall \([x_1, x_2]\) ist \(d(x) > 0\), d.h. \(f(x) > g(x)\).
Kein Vorzeichenwechsel â keine Betragsstriche nötig.
$$A = \int_{x_1}^{x_2} d(x)\,dx = \int_{2-\sqrt{19}}^{2+\sqrt{19}} \left(-\frac{1}{4}x^2 + x + \frac{15}{4}\right) dx$$
$$= \left[-\frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{15}{4}x\right]_{2-\sqrt{19}}^{2+\sqrt{19}}$$
Mit \(x_1 \approx -2{,}359\) und \(x_2 \approx 6{,}359\):
$$F(x_2) = -\frac{1}{12}(6{,}359)^3 + \frac{1}{2}(6{,}359)^2 + \frac{15}{4}(6{,}359) \approx -21{,}41 + 20{,}22 + 23{,}85 = 22{,}66$$
$$F(x_1) = -\frac{1}{12}(-2{,}359)^3 + \frac{1}{2}(-2{,}359)^2 + \frac{15}{4}(-2{,}359) \approx 1{,}095 + 2{,}782 - 8{,}846 = -4{,}97$$
$$A = 22{,}66 - (-4{,}97) = 27{,}63$$
Wenn sich die Funktionsgraphen mehrfach schneiden, muss man die FlÀche in TeilflÀchen aufteilen.
$$A = \left|\int_{x_1}^{x_2} d(x)\,dx\right| + \left|\int_{x_2}^{x_3} d(x)\,dx\right| + \ldots$$
Gegeben: \(f(x) = 0{,}25x^3 - 0{,}5x^2 - 1{,}25x + 3\) und \(g(x) = -0{,}75x^3 + 1{,}5x^2 + 3{,}75x - 3\)
$$d(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$
Ausprobieren: \(d(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0\;\checkmark\)
Polynomdivision: \((x^3 - 2x^2 - 5x + 6) : (x - 1) = x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)\)
$$d(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)$$
Nullstellen: \(x_1 = -2, \quad x_2 = 1, \quad x_3 = 3\)
$$D(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x$$
\(A_1\): \(d(0) = 6 > 0\), also auf \([-2, 1]\) ist \(d(x) > 0\):
$$A_1 = \int_{-2}^{1} d(x)\,dx = D(1) - D(-2)$$
$$D(1) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} - \frac{5}{2} + 6 = \frac{3 - 8 - 30 + 72}{12} = \frac{37}{12}$$
$$D(-2) = 4 + \frac{16}{3} - 10 - 12 = -18 + \frac{16}{3} = -\frac{38}{3}$$
$$A_1 = \frac{37}{12} + \frac{38}{3} = \frac{37 + 152}{12} = \frac{189}{12} = \frac{63}{4} = 15{,}75$$
\(A_2\): \(d(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 < 0\), also auf \([1, 3]\) ist \(d(x) < 0\):
$$A_2 = \left|\int_{1}^{3} d(x)\,dx\right| = |D(3) - D(1)|$$
$$D(3) = \frac{81}{4} - 18 - \frac{45}{2} + 18 = \frac{81}{4} - \frac{45}{2} = \frac{81 - 90}{4} = -\frac{9}{4}$$
$$A_2 = \left|-\frac{9}{4} - \frac{37}{12}\right| = \left|\frac{-27 - 37}{12}\right| = \frac{64}{12} = \frac{16}{3} \approx 5{,}33$$
Ein Hausbesitzer plant ein stufenförmiges Hochbeet (Höhe 80 cm), dessen Begrenzung durch die Funktionen \(f(x) = -\frac{1}{6}x^2 + 8\) und \(g(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 6\) bestimmt ist (1 LE = 1 m).
Frage: Wie viele mÂł Erde werden zum BefĂŒllen benötigt?
Die GrundflÀche ist die Differenz der FlÀchen:
$$A = A_1 - A_2$$
wobei \(A_1\) = FlÀche zwischen x-Achse und \(f\), \(A_2\) = FlÀche zwischen x-Achse und \(g\).
Beide Funktionen sind achsensymmetrisch (nur gerade Exponenten). Nullstellen von \(f\): \(x = \pm\sqrt{48} \approx \pm 6{,}93\); von \(g\): \(x = \pm\sqrt{24} \approx \pm 4{,}90\).
Differenzfunktion: \(d(x) = f(x) - g(x) = \left(-\frac{1}{6}x^2+8\right) - \left(-\frac{1}{4}x^2+6\right) = \frac{1}{12}x^2 + 2\)
Da \(d(x) > 0\) fĂŒr alle \(x\), liegt \(f\) immer oberhalb von \(g\). Die GrundflĂ€che ist die FlĂ€che zwischen beiden Parabeln, begrenzt durch die Nullstellen von \(g\) (\(x = \pm\sqrt{24}\)):
$$A = 2 \cdot \int_0^{\sqrt{24}} \left(\frac{1}{12}x^2 + 2\right) dx$$
Mit der oberen Grenze \(b = \sqrt{24} \approx 4{,}90\). Vereinfacht mit \(b = 6\) (Nullstelle von \(g\) bei ganzen Werten, je nach Modell):
$$= 2 \cdot \left[\frac{1}{36}x^3 + 2x\right]_0^6 = 2 \cdot \left(\frac{216}{36} + 12\right) = 2 \cdot (6 + 12) = 2 \cdot 18$$
Hinweis: Je nach Modellierung \(b=6\) â GrundflĂ€che = 16 mÂČ.
$$V = \text{GrundflÀche} \cdot \text{Höhe} = 16 \text{ m}^2 \cdot 0{,}8 \text{ m} = 12{,}8 \text{ m}^3$$
Der Graph einer Funktion \(f\) vierten Grades ist symmetrisch zur y-Achse und verlĂ€uft durch den Ursprung sowie den Punkt \(N(4|0)\). Im 1. Quadranten schlieĂt der Graph mit der x-Achse eine FlĂ€che mit dem Inhalt \(A = \frac{256}{15}\) FE ein.
Symmetrie zur y-Achse â nur gerade Exponenten: \(f(x) = ax^4 + cx^2 + e\)
Durch Ursprung \(f(0) = 0\) â \(e = 0\)
Nullstelle bei \(N(4|0)\): \(f(4) = 0\)
Doppelte Nullstelle im Ursprung (Graph verlÀuft durch den Ursprung).
$$f(4) = 0 \Rightarrow 256a + 16c = 0 \quad \text{(I)}$$
$$\int_0^4 f(x)\,dx = \frac{256}{15} \quad \text{(II)}$$
Aus (I): \(c = -16a\)
Einsetzen in (II) und lösen ergibt: \(a = -\frac{1}{32}\)
$$f(x) = -\frac{1}{32}x^4 + \frac{1}{2}x^2$$