Das Schema zur vollstÀndigen Untersuchung von Funktionen
PrĂŒfung am Mittwoch, 07. Januar 2026
Thema: Untersuchung ganzrationaler Funktionen
Hoch- & Tiefpunkte
Wende- & Sattelpunkte
Komplette Aufgaben
Arbeite diese 8 Schritte systematisch ab, um eine ganzrationale Funktion vollstÀndig zu untersuchen:
Bei ganzrationalen Funktionen gilt immer:
\(D_f = \mathbb{R}\) (alle reellen Zahlen)
| Bedingung | Symmetrie |
|---|---|
| Nur gerade Exponenten (\(x^4, x^2, 1\)) | Achsensymmetrie zur y-Achse \(f(-x) = f(x)\) |
| Nur ungerade Exponenten (\(x^5, x^3, x\)) | Punktsymmetrie zum Ursprung \(f(-x) = -f(x)\) |
| Gemischte Exponenten | Keine einfache Symmetrie |
Verhalten fĂŒr \(x \to \pm\infty\) â bestimmt durch den Summand mit der höchsten Potenz:
| Grad | Vorfaktor \(a_n > 0\) | Vorfaktor \(a_n < 0\) |
|---|---|---|
| gerade | \(x \to \pm\infty: f(x) \to +\infty\) | \(x \to \pm\infty: f(x) \to -\infty\) |
| ungerade | \(x \to +\infty: f(x) \to +\infty\) \(x \to -\infty: f(x) \to -\infty\) |
\(x \to +\infty: f(x) \to -\infty\) \(x \to -\infty: f(x) \to +\infty\) |
Bilde die ersten drei Ableitungen:
\(f'(x)\) â fĂŒr Extrempunkte
\(f''(x)\) â fĂŒr Wendepunkte & Art der Extrema
\(f'''(x)\) â fĂŒr Art der Wendepunkte
Notwendig: \(f'(x_E) = 0\)
Hinreichend: \(f''(x_E) \neq 0\)
Notwendig: \(f''(x_W) = 0\)
Hinreichend: \(f'''(x_W) \neq 0\)
Sattelpunkt: Wendepunkt mit \(f'(x_W) = 0\)
Trage alle berechneten Punkte ein:
Verbinde die Punkte unter Beachtung des Globalverlaufs.
"Minus = Maximum"
Wenn \(f''(x) < 0\), dann Hochpunkt.
"Plus = PfĂŒtze"
Wenn \(f''(x) > 0\), dann Tiefpunkt.
Wendepunkt = KrĂŒmmungswechsel
\(f''' > 0\): Rechts-Links (â© â âȘ)
\(f''' < 0\): Links-Rechts (âȘ â â©)