Tangentengleichung, lineare Fortsetzung und sichere Muster für die Prüfung
Dieser Lernzettel ist für Aufgaben vom Typ: Tangente im Punkt bestimmen und danach eine Entwicklung linear ab einem Jahr fortschreiben.
Genau dort passieren in der FOS oft dieselben Fehler: falschen x-Wert nehmen, mit f statt mit t weiterrechnen oder die Steigung nicht deuten.
$$t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)$$
Wenn du die Form \(y = mx + b\) brauchst, dann gilt zusätzlich:
$$b = f(x_0) - f'(x_0) \cdot x_0$$
Die Tangente hat die Steigung \(f'(x_0)\) und geht durch den Punkt \(P(x_0 \mid f(x_0))\).
Wenn 2010 dem Wert \(x = 10\) entspricht, dann ist 2020 der Wert \(x = 20\). Erst die Zeitachse sauber klären, dann rechnen.
Setze den Startwert \(x_0\) in die Funktion ein und bestimme \(f(x_0)\).
Leite ab, bestimme \(f'(x)\) und setze danach \(x_0\) ein. Das Ergebnis ist die Tangentensteigung.
Nutze direkt die Punkt-Steigungs-Form: \(t(x) = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
Bei Aussagen wie linear fortgesetzt oder wie durch t beschrieben setzt du das spätere Jahr in \(t\) ein.
Formuliere die Einheit: zum Beispiel 17 Tausend Besucher pro Jahr oder 2,5 Grad pro Stunde.
2010 entspricht \(x = 10\), also entspricht 2020 dem Wert \(x = 20\).
$$t(x) = f'(10) \cdot (x - 10) + f(10)$$
$$t(20) = f'(10) \cdot (20 - 10) + f(10)$$
$$t(20) = 10f'(10) + f(10)$$
\(f'(10)\) ist die momentane Zunahme im Jahr 2010. Für weitere zehn Jahre addierst du in diesem linearen Modell also zehnmal diese Änderungsrate.
2010 entspricht \(x_0 = 10\), 2020 entspricht \(x = 20\).
$$f'(x) = -0{,}15x^2 + 2x + 12$$
$$f(10) = -0{,}05 \cdot 10^3 + 10^2 + 12 \cdot 10 + 80 = -50 + 100 + 120 + 80 = 250$$
$$f'(10) = -0{,}15 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10 + 12 = -15 + 20 + 12 = 17$$
Der Berührpunkt ist also \(P(10 \mid 250)\), die Steigung ist \(17\).
$$t(x) = 17(x-10) + 250$$
$$t(x) = 17x - 170 + 250 = 17x + 80$$
$$t(20) = 17 \cdot 20 + 80 = 420$$
Da \(f(x)\) in Tausend angegeben ist, ergibt das 420 Tausend Besucher.
Im Jahr 2010 nimmt die Besucherzahl in diesem Modell mit etwa 17 Tausend Besuchern pro Jahr zu.
Löse zuerst ohne Hilfe. Danach kannst du die Lösungen ausklappen und kontrollieren.
\(x_0 = 10\), für 2015 gilt \(x = 15\).
$$p'(x) = -0{,}2x + 8$$
$$p(10) = -0{,}1 \cdot 100 + 80 + 120 = 190$$
$$p'(10) = -2 + 8 = 6$$
$$t(x) = 6(x-10) + 190 = 6x + 130$$
$$t(15) = 6 \cdot 15 + 130 = 220$$
Ergebnis: Die Tangente lautet \(t(x) = 6x + 130\), für 2015 ergeben sich 220 Tausend Besucher.
2016 entspricht \(x_0 = 4\), 2020 entspricht \(x = 8\).
$$q'(x) = 1{,}5x^2 - 12x + 30$$
$$q(4) = 0{,}5 \cdot 64 - 6 \cdot 16 + 30 \cdot 4 + 50 = 106$$
$$q'(4) = 1{,}5 \cdot 16 - 48 + 30 = 6$$
$$t(x) = 6(x-4) + 106 = 6x + 82$$
$$t(8) = 6 \cdot 8 + 82 = 130$$
Ergebnis: Die Tangente lautet \(t(x) = 6x + 82\), für 2020 ergeben sich 130 Tausend Euro.
$$t(x) = f'(10)(x-10) + f(10)$$
$$t(20) = f'(10)(20-10) + f(10) = 10f'(10) + f(10)$$
$$t(20) = 10 \cdot 12 + 325 = 445$$
Ergebnis: Die lineare Prognose für 2020 beträgt 445.
$$h'(x) = 2x + 2$$
$$h(2) = 4 + 4 + 3 = 11$$
$$h'(2) = 6$$
$$t(x) = 6(x-2) + 11 = 6x - 1$$
$$t(5) = 29, \qquad h(5) = 25 + 10 + 3 = 38$$
Erklärung: Die Tangente ist nur in der Nähe von \(x_0\) eine gute lineare Näherung. Weiter weg vom Berührpunkt wächst der Fehler.
2020 entspricht \(x_0 = 10\), 2025 entspricht \(x = 15\).
$$r'(x) = -x + 8$$
$$r(10) = -0{,}5 \cdot 100 + 80 + 40 = 70$$
$$r'(10) = -10 + 8 = -2$$
$$t(x) = -2(x-10) + 70 = -2x + 90$$
$$t(15) = -2 \cdot 15 + 90 = 60$$
Deutung: Die Steigung ist negativ. Das bedeutet, dass die Produktionsmenge im Jahr 2020 in diesem Modell um 2 Hundert Stück pro Jahr abnimmt.