Stammfunktionen, bestimmtes Integral & Integrationsregeln
Streifenmethode, Flächeninhaltsfunktion
Flächen unter & zwischen Graphen
Ăbungsaufgaben mit LĂśsungen
Integrale visuell berechnen
Die Integration ist die Umkehroperation der Differentiation (Ableitung). Während die Ableitung die Steigung einer Funktion bestimmt, berechnet das Integral die Fläche unter dem Graphen einer Funktion.
Ableitung: \(f(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} f'(x)\)
Integral: \(f'(x) \xrightarrow{\text{integrieren}} f(x) + C\)
Die Integration ist also das "Rßckgängigmachen" der Ableitung.
Die Einfßhrungsseite (4.1) zeigt, wie man ßber die Streifenmethode (Ober-/Untersummen) zur Flächeninhaltsfunktion \(A_0(x)\) gelangt. Dabei ergibt sich die zentrale Erkenntnis:
$$A_0'(x) = f(x)$$
Die Randfunktion \(f\) ist die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion â deshalb ist \(A_0\) eine Stammfunktion von \(f\). Das ist die BrĂźcke zum Hauptsatz!
Eine Funktion \(F(x)\) heiĂt Stammfunktion von \(f(x)\), wenn gilt:
$$F'(x) = f(x)$$
"Die Ableitung der Stammfunktion ist die Ausgangsfunktion."
Jede Stammfunktion hat unendlich viele MĂśglichkeiten, da eine Konstante \(C\) beim Ableiten verschwindet.
$$\text{Wenn } F(x) \text{ eine Stammfunktion ist, dann auch } F(x) + C \text{ fĂźr jedes } C \in \mathbb{R}$$
Beispiel: \(F_1(x) = x^2 + 1\), \(F_2(x) = x^2 - 5\), \(F_3(x) = x^2 + 100\) sind alle Stammfunktionen von \(f(x) = 2x\).
Die wichtigsten Integrationsregeln leiten sich direkt aus den Ableitungsregeln ab:
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
"Exponent um 1 erhĂśhen, durch neuen Exponent teilen."
| Funktion \(f(x)\) | Stammfunktion \(F(x)\) | Erklärung |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | Potenzregel |
| \(1 = x^0\) | \(x + C\) | Sonderfall: \(n = 0\) |
| \(x\) | \(\frac{1}{2}x^2 + C\) | Sonderfall: \(n = 1\) |
| \(x^2\) | \(\frac{1}{3}x^3 + C\) | Sonderfall: \(n = 2\) |
| \(x^3\) | \(\frac{1}{4}x^4 + C\) | Sonderfall: \(n = 3\) |
| \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) | \(\ln|x| + C\) | Sonderfall: \(n = -1\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | e-Funktion bleibt |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x) + C\) | Trigonometrisch |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x) + C\) | Trigonometrisch |
$$\int a \cdot f(x) \, dx = a \cdot \int f(x) \, dx$$
Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden.
$$\int \left[ f(x) + g(x) \right] dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$$
Eine Summe darf gliedweise integriert werden.
Bestimme die Stammfunktion von \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\):
$$F(x) = \int (3x^4 - 2x^2 + 5x - 7) \, dx$$
$$= 3 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C$$
$$= \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 7x + C$$
Das bestimmte Integral berechnet die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von \(f\), der x-Achse und den Grenzen \(a\) und \(b\).
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b$$
"Obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen."
Berechne \(\int_1^3 (2x + 1) \, dx\):
$$F(x) = x^2 + x$$
$$\int_1^3 (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_1^3$$
$$= (3^2 + 3) - (1^2 + 1)$$
$$= (9 + 3) - (1 + 1)$$
$$= 12 - 2 = 10$$
$$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$$
Werden die Grenzen vertauscht, ändert sich das Vorzeichen.
$$\int_a^a f(x) \, dx = 0$$
Bei gleichen Grenzen ist das Integral immer Null.
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$
Das Intervall darf an jeder Stelle \(c\) aufgeteilt werden.
Bei achsensymmetrischen Funktionen (gerade): \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2 \int_0^{a} f(x)\,dx\)
Bei punktsymmetrischen Funktionen (ungerade): \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0\)
Die Flächenbilanz ist die Summe der bestimmten Integrale ohne Betragsstriche:
$$\text{Bilanz} = \int_a^b f(x)\,dx$$
Positive und negative Flächenanteile heben sich auf.
Fßr den tatsächlichen Flächeninhalt muss man Betragsstriche setzen:
$$A = \int_a^b |f(x)|\,dx$$
In der Praxis: In Teilintervalle aufteilen und Beträge summieren.
Berechne den Flächeninhalt von \(f(x) = -x^2 + 4x\) auf dem Intervall \([-2, 2]\).
$$f(x) = 0 \Rightarrow -x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(-x+4) = 0$$
$$x_1 = 0, \quad x_2 = 4$$
Im Intervall \([-2, 2]\) liegt nur \(x_1 = 0\).
\(f(-1) = -1 - 4 = -5 < 0\) â auf \([-2, 0]\) unterhalb der x-Achse
\(f(1) = -1 + 4 = 3 > 0\) â auf \([0, 2]\) oberhalb der x-Achse
$$F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2$$
$$A_1 = \left|\int_{-2}^{0} (-x^2 + 4x)\,dx\right| = \left|F(0) - F(-2)\right| = \left|0 - \left(\frac{8}{3} + 8\right)\right| = \frac{32}{3}$$
$$A_2 = \int_0^2 (-x^2 + 4x)\,dx = F(2) - F(0) = \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - 0 = \frac{16}{3}$$
"Exponent + 1, durch neuen teilen"
\(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
Vergiss das +C nicht!
"Oben einsetzen minus unten einsetzen"
\(\left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)\)
Beim bestimmten Integral fällt das C weg.
Fläche ist immer positiv!
Wenn \(f(x) < 0\), dann Betragsstriche setzen oder Teilflächen getrennt berechnen.
Stammfunktion ableiten â muss \(f(x)\) ergeben!
$$F'(x) = f(x) \quad â$$