Stammfunktionen, bestimmtes Integral & Integrationsregeln
FlÀchen unter & zwischen Graphen
Ăbungsaufgaben mit Lösungen
Integrale visuell berechnen
Die Integration ist die Umkehroperation der Differentiation (Ableitung). WÀhrend die Ableitung die Steigung einer Funktion bestimmt, berechnet das Integral die FlÀche unter dem Graphen einer Funktion.
Ableitung: \(f(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} f'(x)\)
Integral: \(f'(x) \xrightarrow{\text{integrieren}} f(x) + C\)
Die Integration ist also das "RĂŒckgĂ€ngigmachen" der Ableitung.
Eine Funktion \(F(x)\) heiĂt Stammfunktion von \(f(x)\), wenn gilt:
$$F'(x) = f(x)$$
"Die Ableitung der Stammfunktion ist die Ausgangsfunktion."
Jede Stammfunktion hat unendlich viele Möglichkeiten, da eine Konstante \(C\) beim Ableiten verschwindet.
$$\text{Wenn } F(x) \text{ eine Stammfunktion ist, dann auch } F(x) + C \text{ fĂŒr jedes } C \in \mathbb{R}$$
Beispiel: \(F_1(x) = x^2 + 1\), \(F_2(x) = x^2 - 5\), \(F_3(x) = x^2 + 100\) sind alle Stammfunktionen von \(f(x) = 2x\).
Die wichtigsten Integrationsregeln leiten sich direkt aus den Ableitungsregeln ab:
$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
"Exponent um 1 erhöhen, durch neuen Exponent teilen."
| Funktion \(f(x)\) | Stammfunktion \(F(x)\) | ErklÀrung |
|---|---|---|
| \(x^n\) | \(\frac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | Potenzregel |
| \(1 = x^0\) | \(x + C\) | Sonderfall: \(n = 0\) |
| \(x\) | \(\frac{1}{2}x^2 + C\) | Sonderfall: \(n = 1\) |
| \(x^2\) | \(\frac{1}{3}x^3 + C\) | Sonderfall: \(n = 2\) |
| \(x^3\) | \(\frac{1}{4}x^4 + C\) | Sonderfall: \(n = 3\) |
| \(\frac{1}{x} = x^{-1}\) | \(\ln|x| + C\) | Sonderfall: \(n = -1\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | e-Funktion bleibt |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x) + C\) | Trigonometrisch |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x) + C\) | Trigonometrisch |
$$\int a \cdot f(x) \, dx = a \cdot \int f(x) \, dx$$
Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden.
$$\int \left[ f(x) + g(x) \right] dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$$
Eine Summe darf gliedweise integriert werden.
Bestimme die Stammfunktion von \(f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5x - 7\):
$$F(x) = \int (3x^4 - 2x^2 + 5x - 7) \, dx$$
$$= 3 \cdot \frac{x^5}{5} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C$$
$$= \frac{3}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 7x + C$$
Das bestimmte Integral berechnet die orientierte FlÀche zwischen dem Graphen von \(f\), der x-Achse und den Grenzen \(a\) und \(b\).
$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) = \left[ F(x) \right]_a^b$$
"Obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen."
Berechne \(\int_1^3 (2x + 1) \, dx\):
$$F(x) = x^2 + x$$
$$\int_1^3 (2x + 1) \, dx = \left[ x^2 + x \right]_1^3$$
$$= (3^2 + 3) - (1^2 + 1)$$
$$= (9 + 3) - (1 + 1)$$
$$= 12 - 2 = 10$$
$$\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx$$
Werden die Grenzen vertauscht, Àndert sich das Vorzeichen.
$$\int_a^a f(x) \, dx = 0$$
Bei gleichen Grenzen ist das Integral immer Null.
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx$$
Das Intervall darf an jeder Stelle \(c\) aufgeteilt werden.
Bei achsensymmetrischen Funktionen (gerade): \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2 \int_0^{a} f(x)\,dx\)
Bei punktsymmetrischen Funktionen (ungerade): \(\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0\)
Die FlÀchenbilanz ist die Summe der bestimmten Integrale ohne Betragsstriche:
$$\text{Bilanz} = \int_a^b f(x)\,dx$$
Positive und negative FlÀchenanteile heben sich auf.
FĂŒr den tatsĂ€chlichen FlĂ€cheninhalt muss man Betragsstriche setzen:
$$A = \int_a^b |f(x)|\,dx$$
In der Praxis: In Teilintervalle aufteilen und BetrÀge summieren.
Berechne den FlÀcheninhalt von \(f(x) = -x^2 + 4x\) auf dem Intervall \([-2, 2]\).
$$f(x) = 0 \Rightarrow -x^2 + 4x = 0 \Rightarrow x(-x+4) = 0$$
$$x_1 = 0, \quad x_2 = 4$$
Im Intervall \([-2, 2]\) liegt nur \(x_1 = 0\).
\(f(-1) = -1 - 4 = -5 < 0\) â auf \([-2, 0]\) unterhalb der x-Achse
\(f(1) = -1 + 4 = 3 > 0\) â auf \([0, 2]\) oberhalb der x-Achse
$$F(x) = -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2$$
$$A_1 = \left|\int_{-2}^{0} (-x^2 + 4x)\,dx\right| = \left|F(0) - F(-2)\right| = \left|0 - \left(\frac{8}{3} + 8\right)\right| = \frac{32}{3}$$
$$A_2 = \int_0^2 (-x^2 + 4x)\,dx = F(2) - F(0) = \left(-\frac{8}{3} + 8\right) - 0 = \frac{16}{3}$$
"Exponent + 1, durch neuen teilen"
\(\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
Vergiss das +C nicht!
"Oben einsetzen minus unten einsetzen"
\(\left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)\)
Beim bestimmten Integral fÀllt das C weg.
FlÀche ist immer positiv!
Wenn \(f(x) < 0\), dann Betragsstriche setzen oder TeilflÀchen getrennt berechnen.
Stammfunktion ableiten â muss \(f(x)\) ergeben!
$$F'(x) = f(x) \quad â$$