Verfahren: Ausklammern, Substitution, Polynomdivision
Je nach Form der Funktionsgleichung wählst du das passende Verfahren:
Wenn jedes Glied ein x enthält (kein Absolutglied).
Bsp: \(x^3 - 2x^2 = 0 \to x^2(x-2)=0\)
Wenn nur gerade Exponenten vorkommen (biquadratisch).
Bsp: \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \to z=x^2\)
Wenn nichts anderes geht. Erste Nullstelle raten!
Bsp: \(x^3 - 2x + 1 = 0\)
Für quadratische Gleichungen: \(x^2 + px + q = 0\)
$$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}$$
1. Ansatz: \(f(x) = 0\)
$$3x^4 + 6x^2 = 0$$
2. Ausklammern: (hier \(3x^2\))
$$3x^2(x^2 + 2) = 0$$
3. Satz vom Nullprodukt:
Faktor 1: \(3x^2 = 0 \Rightarrow x_1 = 0\) (doppelte Nullstelle)
Faktor 2: \(x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = -2\)
Das ist nicht lösbar (Wurzel aus negativer Zahl).
1. Erste Nullstelle raten:
Teiler von 10: \(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\)
\(f(1) = 1 - 2,5 - 8,5 + 10 = 0\)
Treffer! \(x_1 = 1\). Linearfaktor: \((x - 1)\)
2. Polynomdivision durchführen:
$$(x^3 - 2,5x^2 - 8,5x + 10) : (x - 1) = x^2 - 1,5x - 10$$
\(-(x^3 - x^2)\)
----------------
\(-1,5x^2 - 8,5x\)
\(-(-1,5x^2 + 1,5x)\)
----------------
\(-10x + 10\)
\(-(-10x + 10)\)
----------------
0
3. Restterm lösen (p-q-Formel):
\(x^2 - 1,5x - 10 = 0\)
\(x_{2,3} = 0,75 \pm \sqrt{0,75^2 + 10}\)
\(x_{2,3} = 0,75 \pm \sqrt{0,5625 + 10} = 0,75 \pm \sqrt{10,5625}\)
\(x_{2,3} = 0,75 \pm 3,25\)
\(x_2 = 4\)
\(x_3 = -2,5\)
1. Substitution: Setze \(z = x^2\)
$$2z^2 - 30,5z + 112,5 = 0$$
2. Lösen nach z (p-q-Formel):
Erst durch 2 teilen:
$$z^2 - 15,25z + 56,25 = 0$$
$$z_{1,2} = 7,625 \pm \sqrt{7,625^2 - 56,25}$$
$$z_{1,2} = 7,625 \pm \sqrt{58,14 - 56,25} = 7,625 \pm \sqrt{1,89}$$
$$z_{1,2} = 7,625 \pm 1,375$$
\(z_1 = 9\)
\(z_2 = 6,25\)
3. Resubstitution: \(x = \pm\sqrt{z}\)
Für \(z_1 = 9\): \(x_{1,2} = \pm 3\)
Für \(z_2 = 6,25\): \(x_{3,4} = \pm 2,5\)