Globalverhalten - Mathe Lernzettel

📖 Theorie: Der "Summand mit der höchsten Potenz"

Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion für sehr große ($+\infty$) oder sehr kleine ($-\infty$) x-Werte wird ausschließlich vom Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt.

$$f(x) = a_n \cdot x^n + \dots + a_0$$

Entscheidend sind nur:

Der Grad $n$ (gerade oder ungerade?)
Der Vorfaktor $a_n$ (positiv oder negativ?)

Die 4 Fälle

Grad $n$	Vorfaktor $a_n$	Verhalten $x \to -\infty$	Verhalten $x \to +\infty$	Verlauf
gerade (2, 4, ...)	positiv (+)	$f(x) \to +\infty$	$f(x) \to +\infty$	II. → I. Quadrant
gerade (2, 4, ...)	negativ (-)	$f(x) \to -\infty$	$f(x) \to -\infty$	III. → IV. Quadrant
ungerade (1, 3, ...)	positiv (+)	$f(x) \to -\infty$	$f(x) \to +\infty$	III. → I. Quadrant
ungerade (1, 3, ...)	negativ (-)	$f(x) \to +\infty$	$f(x) \to -\infty$	II. → IV. Quadrant

✏️ Übungsaufgaben (S. 109, Nr. 1)

Beschreiben Sie den Globalverlauf der Funktionsgraphen.

a) $f(x) = 2x^4 + 2x^2 + 4$

Lösung anzeigen

1. Höchste Potenz bestimmen: $2x^4$

• Grad $n = 4$ ist gerade

• Vorfaktor $a_n = 2$ ist positiv

2. Verhalten ableiten:

Da gerade und positiv: "Beide Arme nach oben"

$$x \to -\infty: f(x) \to +\infty$$

$$x \to +\infty: f(x) \to +\infty$$

b) $f(x) = -x^6 + x^4 + 3x$

Lösung anzeigen

1. Höchste Potenz bestimmen: $-x^6$ (also $-1x^6$)

• Grad $n = 6$ ist gerade

• Vorfaktor $a_n = -1$ ist negativ

2. Verhalten ableiten:

Da gerade und negativ: "Beide Arme nach unten"

$$x \to -\infty: f(x) \to -\infty$$

$$x \to +\infty: f(x) \to -\infty$$

c) $f(x) = -0,5x^4 + 2x$

Lösung anzeigen

1. Höchste Potenz bestimmen: $-0,5x^4$

• Grad $n = 4$ ist gerade

• Vorfaktor $a_n = -0,5$ ist negativ

2. Verhalten ableiten:

$$x \to -\infty: f(x) \to -\infty$$

$$x \to +\infty: f(x) \to -\infty$$

d) $f(x) = -2x^3 + x^2$

Lösung anzeigen

1. Höchste Potenz bestimmen: $-2x^3$

• Grad $n = 3$ ist ungerade

• Vorfaktor $a_n = -2$ ist negativ

2. Verhalten ableiten:

Da ungerade und negativ: "Von oben links nach unten rechts"

$$x \to -\infty: f(x) \to +\infty$$

$$x \to +\infty: f(x) \to -\infty$$

e) $f(x) = x^3 + x^3 + 1$

Lösung anzeigen

1. Vereinfachen: $f(x) = 2x^3 + 1$

2. Höchste Potenz bestimmen: $2x^3$

• Grad $n = 3$ ist ungerade

• Vorfaktor $a_n = 2$ ist positiv

3. Verhalten ableiten:

Da ungerade und positiv: "Von unten links nach oben rechts"

$$x \to -\infty: f(x) \to -\infty$$

$$x \to +\infty: f(x) \to +\infty$$

f) $f(x) = -(x - 5)(x^2 - 3)$

Lösung anzeigen

1. Höchste Potenz bestimmen (ohne alles auszumultiplizieren):

Wir betrachten nur die höchsten Potenzen der Faktoren:

$-(x) \cdot (x^2) = -x^3$

• Grad $n = 3$ ist ungerade

• Vorfaktor $a_n = -1$ ist negativ

2. Verhalten ableiten:

$$x \to -\infty: f(x) \to +\infty$$

$$x \to +\infty: f(x) \to -\infty$$

📈Globalverhalten

📖 Theorie: Der "Summand mit der höchsten Potenz"

Die 4 Fälle

✏️ Übungsaufgaben (S. 109, Nr. 1)

a) \(f(x) = 2x^4 + 2x^2 + 4\)

b) \(f(x) = -x^6 + x^4 + 3x\)

c) \(f(x) = -0,5x^4 + 2x\)

d) \(f(x) = -2x^3 + x^2\)

e) \(f(x) = x^3 + x^3 + 1\)

f) \(f(x) = -(x - 5)(x^2 - 3)\)

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Grad \(n\)	Vorfaktor \(a_n\)	Verhalten \(x \to -\infty\)	Verhalten \(x \to +\infty\)	Verlauf
gerade (2, 4, ...)	positiv (+)	\(f(x) \to +\infty\)	\(f(x) \to +\infty\)	II. → I. Quadrant
gerade (2, 4, ...)	negativ (-)	\(f(x) \to -\infty\)	\(f(x) \to -\infty\)	III. → IV. Quadrant
ungerade (1, 3, ...)	positiv (+)	\(f(x) \to -\infty\)	\(f(x) \to +\infty\)	III. → I. Quadrant
ungerade (1, 3, ...)	negativ (-)	\(f(x) \to +\infty\)	\(f(x) \to -\infty\)	II. → IV. Quadrant