Hochpunkte (Maxima) und Tiefpunkte (Minima) berechnen
Ein Extrempunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion einen lokalen Höchst- oder Tiefstwert erreicht.
Wichtig: An einem Extrempunkt ist die Tangente immer waagerecht (Steigung = 0).
$$f'(x_E) = 0$$
"Die erste Ableitung muss Null sein." (Waagerechte Tangente)
$$f'(x_E) = 0 \quad \text{UND} \quad f''(x_E) \neq 0$$
| Bedingung | Ergebnis | Krümmung |
|---|---|---|
| \(f''(x_E) < 0\) | Hochpunkt (Maximum) | Rechtskurve ∩ |
| \(f''(x_E) > 0\) | Tiefpunkt (Minimum) | Linkskurve ∪ |
"Minus = Maximum" → Wenn \(f''(x) < 0\), dann Hochpunkt.
"Plus = Pfütze" → Wenn \(f''(x) > 0\), dann Tiefpunkt (wie eine Pfütze/Schüssel).
Diese Methode wird verwendet, wenn \(f''(x_E) = 0\) ist oder die zweite Ableitung zu kompliziert wird.
| VZW von \(f'(x)\) | Ergebnis |
|---|---|
| Von + nach − | Hochpunkt (Maximum) |
| Von − nach + | Tiefpunkt (Minimum) |
| Kein Wechsel | Kein Extrempunkt (Sattelpunkt möglich) |
Wenn \(f'(x_E) = 0\) erfüllt ist, aber das VZW-Kriterium NICHT erfüllt ist, liegt kein Extrempunkt vor. Es könnte ein Sattelpunkt sein!
Aus dem Schulbuch (S. 159, 161)
$$f(x) = x^2 - 3x - 4$$
$$f'(x) = 2x - 3$$
$$f''(x) = 2$$
$$2x - 3 = 0$$
$$2x = 3$$
$$x_E = 1,5$$
$$f''(1,5) = 2 > 0$$
Da \(f''(x_E) > 0\) → Tiefpunkt
$$f(1,5) = (1,5)^2 - 3 \cdot 1,5 - 4$$
$$= 2,25 - 4,5 - 4 = -6,25$$
$$f(x) = -\frac{2}{3}x^2 + x$$
$$f'(x) = -\frac{4}{3}x + 1$$
$$f''(x) = -\frac{4}{3}$$
$$-\frac{4}{3}x + 1 = 0$$
$$-\frac{4}{3}x = -1$$
$$x = \frac{3}{4} = 0,75$$
$$f''(0,75) = -\frac{4}{3} < 0$$
Da \(f''(x_E) < 0\) → Hochpunkt
$$f(0,75) = -\frac{2}{3} \cdot (0,75)^2 + 0,75$$
$$= -\frac{2}{3} \cdot 0,5625 + 0,75$$
$$= -0,375 + 0,75 = 0,375$$
$$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$$
$$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$$
$$f''(x) = 6x + 6$$
$$3x^2 + 6x - 9 = 0 \quad | :3$$
$$x^2 + 2x - 3 = 0$$
Mit p-q-Formel (\(p=2, q=-3\)):
$$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 + 3} = -1 \pm 2$$
$$x_1 = 1, \quad x_2 = -3$$
Für \(x_1 = 1\):
$$f''(1) = 6 \cdot 1 + 6 = 12 > 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$
Für \(x_2 = -3\):
$$f''(-3) = 6 \cdot (-3) + 6 = -12 < 0 \Rightarrow \text{Hochpunkt}$$
$$f(1) = 1 + 3 - 9 = -5$$
$$f(-3) = -27 + 27 + 27 = 27$$
$$f'(x) = -3x^2 + 12$$
$$f''(x) = -6x$$
$$-3x^2 + 12 = 0$$
$$3x^2 = 12$$
$$x^2 = 4$$
$$x_{1,2} = \pm 2$$
$$f''(2) = -6 \cdot 2 = -12 < 0 \Rightarrow \text{Hochpunkt}$$
$$f''(-2) = -6 \cdot (-2) = 12 > 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$
$$f(2) = -8 + 24 = 16$$
$$f(-2) = 8 - 24 = -16$$
$$f'(x) = -2x + 6$$
$$-2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$$
Wähle Testwerte links und rechts von \(x = 3\):
$$f'(2) = -2(2) + 6 = +2 > 0 \quad \text{(steigend)}$$
$$f'(4) = -2(4) + 6 = -2 < 0 \quad \text{(fallend)}$$
VZW von + nach − → Hochpunkt
$$f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5$$