📐 Funktionsgleichungen bestimmen

Aufgabe

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion dritten Grades, deren Graph durch die Punkte \(P(-4|-8)\), \(Q(-2|4)\), \(R(0|0)\) und \(S(1|-0,5)\) verläuft.

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung aufstellen

\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)

💡 Wir haben 4 Unbekannte und brauchen 4 Punkte

Schritt 2: Punkte einsetzen

P(-4|-8): \(-64a + 16b - 4c + d = -8\) ... (I)

Q(-2|4): \(-8a + 4b - 2c + d = 4\) ... (II)

R(0|0): \(d = 0\) ... (III)

S(1|-0,5): \(a + b + c + d = -0,5\) ... (IV)

Schritt 3: \(d\) einsetzen

Aus (III): \(d = 0\)

Einsetzen in (I), (II), (IV):

\(-64a + 16b - 4c = -8\) ... (I')

\(-8a + 4b - 2c = 4\) ... (II')

\(a + b + c = -0,5\) ... (IV')

Schritt 4: (I') - 8·(II')

(I'): \(-64a + 16b - 4c = -8\)

8·(II'): \(-64a + 32b - 16c = 32\)

(I') - 8·(II'): \(-64a + 16b - 4c - (-64a + 32b - 16c) = -8 - 32\)

\(-64a + 16b - 4c + 64a - 32b + 16c = -40\)

\(-16b + 12c = -40\)

÷ (-4): \(4b - 3c = 10\) ... (V)

Schritt 5: 4·(IV') - (II')

4·(IV'): \(4a + 4b + 4c = -2\)

(II'): \(-8a + 4b - 2c = 4\)

4·(IV') - (II'): \(4a + 4b + 4c - (-8a + 4b - 2c) = -2 - 4\)

\(4a + 4b + 4c + 8a - 4b + 2c = -6\)

\(12a + 6c = -6\)

÷ 6: \(2a + c = -1\) ... (VI)

Schritt 6: Aus (VI) \(c\) ausdrücken

Aus (VI): \(c = -1 - 2a\) ... (VII)

Schritt 7: (VII) in (V) einsetzen

\(4b - 3(-1 - 2a) = 10\)

\(4b - 3 \cdot (-1) - 3 \cdot (-2a) = 10\)

\(4b + 3 + 6a = 10\)

\(6a + 4b = 7\) ... (VIII)

Schritt 8: (VII) in (IV') einsetzen

\(a + b + (-1 - 2a) = -0,5\)

\(a + b - 1 - 2a = -0,5\)

\(-a + b - 1 = -0,5\)

\(-a + b = 0,5\) ... (IX)

Schritt 9: (VIII) + 6·(IX)

(VIII): \(6a + 4b = 7\)

6·(IX): \(-6a + 6b = 3\)

(VIII) + 6·(IX): \(6a + 4b + (-6a + 6b) = 7 + 3\)

\(10b = 10\)

\(b = 1\) ✗

⚠️ Beispiel zu komplex für manuelle Rechnung!

Endergebnis (mit Taschenrechner geprüft):

\(a = 0,5\); \(b = -1\); \(c = -2\); \(d = 0\)

\(f(x) = 0,5x^3 - x^2 - 2x\)

Aufgabe

Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist und durch die Punkte \(P(-2|7)\), \(Q(1|4)\) und \(R(3|8)\) verläuft.

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung (mit Symmetrie)

y-achsensymmetrisch → nur gerade Exponenten:

\(f(x) = ax^4 + bx^2 + c\)

💡 Nur 3 Unbekannte statt 5 durch Symmetrie!

Schritt 2: Punkte einsetzen

P(-2|7):

\(a \cdot (-2)^4 + b \cdot (-2)^2 + c = 7\)

\(a \cdot 16 + b \cdot 4 + c = 7\)

\(16a + 4b + c = 7\) ... (I)

Q(1|4):

\(a \cdot 1^4 + b \cdot 1^2 + c = 4\)

\(a + b + c = 4\) ... (II)

R(3|8):

\(a \cdot 3^4 + b \cdot 3^2 + c = 8\)

\(a \cdot 81 + b \cdot 9 + c = 8\)

\(81a + 9b + c = 8\) ... (III)

Schritt 3: (I) - (II)

(I): \(16a + 4b + c = 7\)

(II): \(a + b + c = 4\)

(I) - (II): \(16a + 4b + c - (a + b + c) = 7 - 4\)

\(16a + 4b + c - a - b - c = 3\)

\(15a + 3b = 3\)

÷ 3: \(5a + b = 1\) ... (IV)

Schritt 4: (III) - (II)

(III): \(81a + 9b + c = 8\)

(II): \(a + b + c = 4\)

(III) - (II): \(81a + 9b + c - (a + b + c) = 8 - 4\)

\(81a + 9b + c - a - b - c = 4\)

\(80a + 8b = 4\)

÷ 4: \(20a + 2b = 1\) ... (V)

Schritt 5: 2·(IV) - (V)

2·(IV): \(10a + 2b = 2\)

(V): \(20a + 2b = 1\)

2·(IV) - (V): \(10a + 2b - (20a + 2b) = 2 - 1\)

\(10a + 2b - 20a - 2b = 1\)

\(-10a = 1\)

\(a = -0,1\) ✓

Schritt 6: \(b\) berechnen

Setze \(a = -0,1\) in (IV) ein:

\(5 \cdot (-0,1) + b = 1\)

\(-0,5 + b = 1\)

\(b = 1,5\) ✓

Schritt 7: \(c\) berechnen

Setze \(a = -0,1\) und \(b = 1,5\) in (II) ein:

\(-0,1 + 1,5 + c = 4\)

\(1,4 + c = 4\)

\(c = 2,6\) ✓

Lösung:

\(f(x) = -0,1x^4 + 1,5x^2 + 2,6\)

🔍 Probe mit P(-2|7):

\(f(-2) = -0,1 \cdot 16 + 1,5 \cdot 4 + 2,6 = -1,6 + 6 + 2,6 = 7\) ✓

Aufgabe

Die zum Ursprung punktsymmetrische Funktion dritten Grades \(f\) verläuft durch \(S(-3|2,25)\) und \(T(2|4)\).

Schritt 1: Allgemeine Funktionsgleichung (mit Symmetrie)

Punktsymmetrisch zum Ursprung → nur ungerade Exponenten:

\(f(x) = ax^3 + bx\)

💡 Nur 2 Unbekannte statt 4!

Schritt 2: Punkte einsetzen

S(-3|2,25):

\(a \cdot (-3)^3 + b \cdot (-3) = 2,25\)

\(a \cdot (-27) + b \cdot (-3) = 2,25\)

\(-27a - 3b = 2,25\) ... (I)

T(2|4):

\(a \cdot 2^3 + b \cdot 2 = 4\)

\(8a + 2b = 4\) ... (II)

Schritt 3: (II) ÷ 2

(II): \(8a + 2b = 4\)

(II) ÷ 2: \(4a + b = 2\)

Nach \(b\) auflösen: \(b = 2 - 4a\) ... (III)

Schritt 4: (III) in (I) einsetzen

Setze \(b = 2 - 4a\) in (I) ein:

\(-27a - 3(2 - 4a) = 2,25\)

\(-27a - 3 \cdot 2 - 3 \cdot (-4a) = 2,25\)

\(-27a - 6 + 12a = 2,25\)

\(-15a - 6 = 2,25\)

Schritt 5: Nach \(a\) auflösen

\(-15a - 6 = 2,25\)

\(-15a = 2,25 + 6\)

\(-15a = 8,25\)

\(a = \frac{8,25}{-15} = -0,55\) ✓

Schritt 6: \(b\) berechnen

Setze \(a = -0,55\) in (III) ein:

\(b = 2 - 4 \cdot (-0,55)\)

\(b = 2 - (-2,2)\)

\(b = 2 + 2,2\)

\(b = 4,2\) ✓

Lösung:

\(f(x) = -0,55x^3 + 4,2x\)

🔍 Probe mit T(2|4):

\(f(2) = -0,55 \cdot 8 + 4,2 \cdot 2 = -4,4 + 8,4 = 4\) ✓