Wendestellen und Sattelpunkte berechnen
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert:
Am Wendepunkt ist die Steigung lokal maximal oder minimal!
$$f''(x_W) = 0$$
"Die zweite Ableitung muss Null sein."
$$f''(x_W) = 0 \quad \text{UND} \quad f'''(x_W) \neq 0$$
| Bedingung | Ergebnis | Krümmungswechsel |
|---|---|---|
| \(f'''(x_W) < 0\) | Links-Rechts-Wendepunkt | ∪ → ∩ |
| \(f'''(x_W) > 0\) | Rechts-Links-Wendepunkt | ∩ → ∪ |
Ein Sattelpunkt ist ein spezieller Wendepunkt, bei dem die Tangente zusätzlich waagerecht ist.
$$f'(x_S) = 0 \quad \text{UND} \quad f''(x_S) = 0 \quad \text{UND} \quad f'''(x_S) \neq 0$$
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit Steigung 0 – aber KEIN Extrempunkt!
Bei einem Sattelpunkt ist \(f'(x) = 0\), aber es ist kein Extrempunkt, weil kein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung stattfindet!
Erkennungsmerkmal: \(f'(x) = 0\) UND \(f''(x) = 0\) → Prüfe auf Sattelpunkt!
Aus dem Schulbuch (S. 162-166)
$$f(x) = x^3 + 3x^2$$
$$f'(x) = 3x^2 + 6x$$
$$f''(x) = 6x + 6$$
$$f'''(x) = 6$$
$$6x + 6 = 0$$
$$6x = -6$$
$$x_W = -1$$
$$f'''(-1) = 6 \neq 0 \checkmark$$
Da \(6 > 0\) → Rechts-Links-Wendepunkt
$$f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 = -1 + 3 = 2$$
$$f'(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) = 3 - 6 = -3 \neq 0$$
→ Kein Sattelpunkt (Steigung ≠ 0)
$$f'(x) = -0,9x^2$$
$$f''(x) = -1,8x$$
$$f'''(x) = -1,8$$
$$-1,8x = 0 \Rightarrow x_W = 0$$
$$f'''(0) = -1,8 \neq 0 \checkmark$$
Da \(-1,8 < 0\) → Links-Rechts-Wendepunkt
$$f(0) = 8,1$$
$$f'(0) = -0,9 \cdot 0^2 = 0$$
Steigung = 0 → Sattelpunkt!
$$f'(x) = 3x^2 - 18x + 27$$
$$f''(x) = 6x - 18$$
$$f'''(x) = 6$$
$$6x - 18 = 0$$
$$x_W = 3$$
$$f'''(3) = 6 > 0 \Rightarrow \text{R-L-Wendepunkt}$$
$$f(3) = 27 - 81 + 81 - 19 = 8$$
$$f'(3) = 3(9) - 18(3) + 27 = 27 - 54 + 27 = 0$$
Steigung = 0 → Sattelpunkt!
$$f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 4$$
$$f''(x) = \frac{3}{2}x$$
$$f'''(x) = \frac{3}{2}$$
$$\frac{3}{2}x = 0 \Rightarrow x_W = 0$$
$$f'''(0) = \frac{3}{2} > 0 \Rightarrow \text{R-L-Wendepunkt}$$
$$f(0) = 0$$
$$f'(0) = -4 \neq 0$$
→ Kein Sattelpunkt
$$f'(x) = x^3 + \frac{21}{4}x^2 + 5x$$
$$f''(x) = 3x^2 + \frac{21}{6}x + 5$$
$$f'''(x) = 6x + \frac{21}{6}$$
$$3x^2 + \frac{21}{6}x + 5 = 0$$
Mit p-q-Formel:
$$x_{W_{1,2}} \approx -2,93 \text{ und } -0,57$$
$$f'''(-2,93) \approx -7,08 < 0 \Rightarrow \text{L-R-WP}$$
$$f'''(-0,57) \approx +7,08 > 0 \Rightarrow \text{R-L-WP}$$
$$f(-2,93) \approx -4,14$$
$$f(-0,57) \approx 0,51$$
$$f'(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 6x + \frac{13}{2}$$
$$f''(x) = -x + 6$$
$$f'''(x) = -1$$
$$f''(x) = 0 \Rightarrow -x + 6 = 0 \Rightarrow x = 6$$
$$f'''(6) = -1 < 0 \Rightarrow \text{L-R-Wendepunkt}$$
Das bedeutet: Die Steigung hat bei \(x=6\) ihr Maximum!