📝Vollständige Beispiele

Komplette Kurvendiskussionen & Sachaufgaben

📋 So gehst du vor

Jedes Beispiel zeigt alle 8 Schritte der Kurvendiskussion. Das erste Beispiel ist vollständig ausgeschrieben!

⭐ Musterbeispiel: Vollständiger LÜsungsweg

Aufgabe: Fßhren Sie eine vollständige Kurvendiskussion fßr die Funktion durch: $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$$

📌 Schritt 1: Definitionsbereich

Frage: FĂźr welche x-Werte ist die Funktion definiert?

Überlegung: Es handelt sich um eine ganzrationale Funktion (Polynom). Polynome sind für alle reellen Zahlen definiert.

$$D_f = \mathbb{R}$$

Bei Brßchen oder Wurzeln mßsste man Einschränkungen beachten!

📌 Schritt 2: Symmetrie

Methode: Exponenten der x-Potenzen betrachten

$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$$

  • \(x^3\) → Exponent 3 (ungerade)
  • \(x^2\) → Exponent 2 (gerade)
  • \(x^1\) → Exponent 1 (ungerade)
  • \(x^0\) → Exponent 0 (gerade)

Regeln:

  • Nur gerade Exponenten → Achsensymmetrie zur y-Achse
  • Nur ungerade Exponenten → Punktsymmetrie zum Ursprung
  • Gemischt → keine einfache Symmetrie
Ergebnis: Keine Symmetrie (gemischte Exponenten)

📌 Schritt 3: Globalverhalten (Verhalten für x → ±∞)

Methode: Nur die hĂśchste Potenz betrachten!

HĂśchste Potenz: \(x^3\) mit Vorfaktor \(+1\)

Analyse:

  • Grad 3 = ungerade → unterschiedliches Verhalten links/rechts
  • Vorfaktor \(+1 > 0\) → von links unten nach rechts oben
$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$$

Merksatz: Ungerade Grad + positiver Vorfaktor = "von unten links nach oben rechts"

📌 Schritt 4: Achsenschnittpunkte

4a) Schnittpunkt mit der y-Achse

Setze \(x = 0\) in die Funktion ein:

$$f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 - 9 \cdot 0 + 27 = 27$$

$$S_y(0 \mid 27)$$

4b) Schnittpunkte mit der x-Achse (Nullstellen)

Setze \(f(x) = 0\):

$$x^3 - 3x^2 - 9x + 27 = 0$$

Schritt 1: Erste Nullstelle durch Ausprobieren finden

Teste Teiler von 27: \(\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27\)

  • \(f(1) = 1 - 3 - 9 + 27 = 16 \neq 0\)
  • \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 27 = 0\) ✓

→ \(x_1 = 3\) ist eine Nullstelle!

Schritt 2: Polynomdivision durch \((x - 3)\)

$$(x^3 - 3x^2 - 9x + 27) : (x - 3) = x^2 - 9$$

Nebenrechnung:

  x³ - 3x² - 9x + 27  :  (x - 3) = x² - 9
-(x³ - 3x²)
─────────────
        - 9x + 27
      -(- 9x + 27)
      ─────────────
               0

Schritt 3: Restpolynom \(x^2 - 9 = 0\) lĂśsen

$$x^2 - 9 = 0$$

$$x^2 = 9$$

$$x_{2,3} = \pm 3$$

Nullstellen: \(x_1 = 3\) (doppelt!), \(x_2 = -3\)
$$N_1(-3 \mid 0), \quad N_2(3 \mid 0) \text{ (doppelt)}$$

Hinweis: Bei \(x = 3\) berĂźhrt der Graph die x-Achse (doppelte Nullstelle), bei \(x = -3\) schneidet er sie.

📌 Schritt 5: Ableitungen bilden

Originalfunktion:

$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$$

1. Ableitung (Potenzregel: \(x^n \to n \cdot x^{n-1}\)):

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$$

2. Ableitung:

$$f''(x) = 6x - 6$$

3. Ableitung:

$$f'''(x) = 6$$

\(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27\)
\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\)
\(f''(x) = 6x - 6\)
\(f'''(x) = 6\)

📌 Schritt 6: Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte)

Notwendige Bedingung: \(f'(x) = 0\)

$$3x^2 - 6x - 9 = 0 \quad | :3$$

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

Mit p-q-Formel (\(p = -2, q = -3\)):

$$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$$

$$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2$$

$$x_1 = -1, \quad x_2 = 3$$

Hinreichende Bedingung: PrĂźfen mit \(f''(x)\)

x-Wert \(f''(x) = 6x - 6\) Vorzeichen Art
\(x = -1\) \(f''(-1) = 6(-1) - 6 = -12\) \(< 0\) Hochpunkt
\(x = 3\) \(f''(3) = 6(3) - 6 = 12\) \(> 0\) Tiefpunkt

y-Koordinaten berechnen:

$$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 27 = -1 - 3 + 9 + 27 = 32$$

$$f(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 27 = 27 - 27 - 27 + 27 = 0$$

Hochpunkt: \(H(-1 \mid 32)\)
Tiefpunkt: \(T(3 \mid 0)\)

Beachte: Der Tiefpunkt liegt auf der x-Achse (y = 0), was zur doppelten Nullstelle passt!

📌 Schritt 7: Wendepunkte

Notwendige Bedingung: \(f''(x) = 0\)

$$6x - 6 = 0$$

$$6x = 6$$

$$x_W = 1$$

Hinreichende Bedingung: \(f'''(x) \neq 0\)

$$f'''(1) = 6 \neq 0 \quad \checkmark$$

→ Bei \(x = 1\) liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor!

Art des Wendepunkts:

\(f'''(1) = 6 > 0\) → Rechts-Links-Wendepunkt (R-L-WP)

(KrĂźmmung wechselt von Rechtskurve zu Linkskurve)

y-Koordinate:

$$f(1) = 1^3 - 3(1)^2 - 9(1) + 27 = 1 - 3 - 9 + 27 = 16$$

Wendepunkt: \(W(1 \mid 16)\)

📌 Schritt 8: Graph skizzieren

Trage alle wichtigen Punkte ein und verbinde sie:

  • Nullstellen: \((-3 \mid 0)\), \((3 \mid 0)\)
  • y-Achsenabschnitt: \((0 \mid 27)\)
  • Hochpunkt: \(H(-1 \mid 32)\)
  • Wendepunkt: \(W(1 \mid 16)\)
  • Tiefpunkt: \(T(3 \mid 0)\)

📊 Interaktiver Graph: (Ziehen zum Verschieben, Scrollen zum Zoomen)

Funktion f(x) Hochpunkt H Tiefpunkt T Wendepunkt W Nullstellen

Der Graph steigt von \(-\infty\), erreicht bei \(H(-1|32)\) ein Maximum,
fällt durch den Wendepunkt \(W(1|16)\) zum Tiefpunkt \(T(3|0)\),
und steigt dann wieder nach \(+\infty\).

📋 Komplette Zusammenfassung

Funktion: \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 27\)

Definitionsbereich:\(D_f = \mathbb{R}\)
Symmetrie:Keine
Globalverhalten:\(x \to +\infty: f(x) \to +\infty\), \(x \to -\infty: f(x) \to -\infty\)
y-Achsenabschnitt:\(S_y(0 \mid 27)\)
Nullstellen:\(x = -3\) (einfach), \(x = 3\) (doppelt)
Hochpunkt:\(H(-1 \mid 32)\)
Tiefpunkt:\(T(3 \mid 0)\)
Wendepunkt:\(W(1 \mid 16)\) (R-L-WP)

📊 Beispiel 1: Funktion 3. Grades

Untersuchen Sie die Funktion \(f(x) = 0,125x^3 - 0,75x^2 + 4\) vollständig.

(Quelle: Buch S. 168, Beispiel 10)

Vollständige LÜsung anzeigen

1. Definitionsbereich

$$D_f = \mathbb{R}$$

2. Symmetrie

Exponenten: \(x^3\) (ungerade), \(x^2\) (gerade), \(x^0\) (gerade)

→ Gemischte Exponenten → Keine einfache Symmetrie

3. Globalverlauf

HĂśchste Potenz: \(0,125x^3\) (Grad 3, ungerade)

Vorfaktor \(0,125 > 0\):

$$x \to +\infty: f(x) \to +\infty$$

$$x \to -\infty: f(x) \to -\infty$$

Graph verläuft vom III. in den I. Quadranten.

4. Achsenschnittpunkte

y-Achse: \(f(0) = 4\) → \(S_y(0 \mid 4)\)

Nullstellen: \(0,125x^3 - 0,75x^2 + 4 = 0\)

Durch Ausprobieren: \(x_{N_1} = -2\)

Polynomdivision:

$$(0,125x^3 - 0,75x^2 + 4) : (x + 2) = 0,125x^2 - x + 2$$

Restterm mit 2. binomischer Formel:

$$0,125x^2 - x + 2 = 0 \quad |\cdot 8$$

$$x^2 - 8x + 16 = 0$$

$$(x - 4)^2 = 0 \Rightarrow x_{N_2} = 4$$ (doppelte Nullstelle)

Nullstellen: \(N_1(-2 \mid 0)\) und \(N_2(4 \mid 0)\) (doppelt)

5. Ableitungen

$$f(x) = 0,125x^3 - 0,75x^2 + 4$$

$$f'(x) = 0,375x^2 - 1,5x$$

$$f''(x) = 0,75x - 1,5$$

$$f'''(x) = 0,75$$

6. Extrempunkte

Notwendig: \(f'(x) = 0\)

$$0,375x^2 - 1,5x = 0$$

$$x(0,375x - 1,5) = 0$$

$$x_{E_1} = 0, \quad x_{E_2} = 4$$

Hinreichend:

$$f''(0) = -1,5 < 0 \Rightarrow \text{Hochpunkt}$$

$$f''(4) = 0,75 \cdot 4 - 1,5 = 1,5 > 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$

y-Koordinaten:

$$f(0) = 4 \Rightarrow H(0 \mid 4)$$

$$f(4) = 0,125 \cdot 64 - 0,75 \cdot 16 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$$

$$\Rightarrow T(4 \mid 0)$$

7. Wendepunkte

Notwendig: \(f''(x) = 0\)

$$0,75x - 1,5 = 0 \Rightarrow x_W = 2$$

Hinreichend:

$$f'''(2) = 0,75 > 0 \Rightarrow \text{R-L-Wendepunkt}$$

y-Koordinate:

$$f(2) = 0,125 \cdot 8 - 0,75 \cdot 4 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$$

$$\Rightarrow W(2 \mid 2)$$

Zusammenfassung:
• Hochpunkt: \(H(0 \mid 4)\)
• Tiefpunkt: \(T(4 \mid 0)\)
• Wendepunkt: \(W(2 \mid 2)\)
• Nullstellen: \(x = -2\) und \(x = 4\) (doppelt)

📊 Beispiel 2: Funktion 4. Grades (achsensymmetrisch)

Untersuchen Sie die Funktion \(f(x) = 0,25x^4 - 2x^2 - 2,25\) vollständig.

(Quelle: Buch S. 169, Beispiel 11)

Vollständige LÜsung anzeigen

1. Definitionsbereich

$$D_f = \mathbb{R}$$

2. Symmetrie

Nur gerade Exponenten: \(x^4, x^2, x^0\)

→ Achsensymmetrie zur y-Achse

3. Globalverlauf

HĂśchste Potenz: \(0,25x^4\) (Grad 4, gerade)

Vorfaktor \(0,25 > 0\):

$$x \to \pm\infty: f(x) \to +\infty$$

Graph verläuft vom II. in den I. Quadranten.

4. Achsenschnittpunkte

y-Achse: \(f(0) = -2,25\) → \(S_y(0 \mid -2,25)\)

Nullstellen: Mit Substitution \(z = x^2\):

$$0,25z^2 - 2z - 2,25 = 0 \quad |\cdot 4$$

$$z^2 - 8z - 9 = 0$$

$$z_{1,2} = 4 \pm \sqrt{16 + 9} = 4 \pm 5$$

$$z_1 = 9, \quad z_2 = -1$$ (keine LĂśsung)

Resubstitution: \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\)

Nullstellen: \(N_1(-3 \mid 0)\) und \(N_2(3 \mid 0)\)

5. Ableitungen

$$f'(x) = x^3 - 4x$$

$$f''(x) = 3x^2 - 4$$

$$f'''(x) = 6x$$

6. Extrempunkte

Notwendig: \(f'(x) = 0\)

$$x^3 - 4x = 0$$

$$x(x^2 - 4) = 0$$

$$x_{E_1} = 0, \quad x_{E_2} = -2, \quad x_{E_3} = 2$$

Hinreichend:

$$f''(0) = -4 < 0 \Rightarrow \text{Hochpunkt}$$

$$f''(-2) = 3(4) - 4 = 8 > 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$

$$f''(2) = 8 > 0 \Rightarrow \text{Tiefpunkt}$$

y-Koordinaten:

$$f(0) = -2,25 \Rightarrow H(0 \mid -2,25)$$

$$f(-2) = 0,25(16) - 2(4) - 2,25 = 4 - 8 - 2,25 = -6,25$$

$$\Rightarrow T_1(-2 \mid -6,25) \text{ und } T_2(2 \mid -6,25)$$

7. Wendepunkte

Notwendig: \(f''(x) = 0\)

$$3x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{3}$$

$$x_{W_{1,2}} = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1,15$$

Hinreichend:

$$f'''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} > 0 \Rightarrow \text{R-L-WP}$$

$$f'''\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right) < 0 \Rightarrow \text{L-R-WP}$$

y-Koordinate: (wegen Symmetrie gleich)

$$f\left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{161}{36} \approx -4,47$$

$$\Rightarrow W_1(-1,15 \mid -4,47) \text{ und } W_2(1,15 \mid -4,47)$$

Zusammenfassung:
• Hochpunkt: \(H(0 \mid -2,25)\)
• Tiefpunkte: \(T_1(-2 \mid -6,25)\), \(T_2(2 \mid -6,25)\)
• Wendepunkte: \(W_1(-1,15 \mid -4,47)\), \(W_2(1,15 \mid -4,47)\)
• Nullstellen: \(x = \pm 3\)

📊 Beispiel 3: Funktion 5. Grades (punktsymmetrisch)

Untersuchen Sie die Funktion \(f(x) = 0,25x^5 - 2x^3 + 4x\) vollständig.

(Quelle: Buch S. 171, Beispiel 13)

Vollständige LÜsung anzeigen

1. Definitionsbereich

$$D_f = \mathbb{R}$$

2. Symmetrie

Nur ungerade Exponenten: \(x^5, x^3, x^1\)

→ Punktsymmetrie zum Ursprung

3. Globalverlauf

HĂśchste Potenz: \(0,25x^5\) (Grad 5, ungerade)

Vorfaktor \(0,25 > 0\):

$$x \to +\infty: f(x) \to +\infty$$

$$x \to -\infty: f(x) \to -\infty$$

4. Achsenschnittpunkte

y-Achse: \(f(0) = 0\) → \(S_y(0 \mid 0)\)

Nullstellen:

$$0,25x^5 - 2x^3 + 4x = 0$$

$$x(0,25x^4 - 2x^2 + 4) = 0$$

$$x_{N_1} = 0$$

Substitution \(z = x^2\):

$$0,25z^2 - 2z + 4 = 0 \quad |\cdot 4$$

$$z^2 - 8z + 16 = 0$$

$$(z - 4)^2 = 0 \Rightarrow z = 4$$

$$x^2 = 4 \Rightarrow x_{N_{2,3}} = \pm 2$$

Nullstellen: \(N_1(0 \mid 0)\), \(N_2(-2 \mid 0)\), \(N_3(2 \mid 0)\)

5. Ableitungen

$$f'(x) = 1,25x^4 - 6x^2 + 4$$

$$f''(x) = 5x^3 - 12x$$

$$f'''(x) = 15x^2 - 12$$

6. Extrempunkte

Notwendig: \(f'(x) = 0\)

$$1,25x^4 - 6x^2 + 4 = 0$$

Substitution \(z = x^2\):

$$z_{1,2} = 2,4 \pm \sqrt{5,76 - 3,2} = 2,4 \pm 1,6$$

$$z_1 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$$

$$z_2 = 0,8 \Rightarrow x \approx \pm 0,89$$

PrĂźfung mit \(f''(x)\):

$$f''(-2) = -16 < 0 \Rightarrow H(-2 \mid 0)$$

$$f''(-0,89) \approx 7,16 > 0 \Rightarrow T_1(-0,89 \mid -2,29)$$

Wegen Punktsymmetrie: \(H(2 \mid 0)\) und \(T_2(0,89 \mid 2,29)\)

7. Wendepunkte

Notwendig: \(f''(x) = 0\)

$$5x^3 - 12x = 0$$

$$x(5x^2 - 12) = 0$$

$$x_{W_1} = 0, \quad x_{W_{2,3}} = \pm\sqrt{\frac{12}{5}} \approx \pm 1,55$$

y-Koordinaten:

$$W_1(0 \mid 0), \quad W_2(-1,55 \mid -0,99), \quad W_3(1,55 \mid 0,99)$$

Zusammenfassung:
• Hochpunkte: \(H_1(-2 \mid 0)\), \(H_2(0,89 \mid 2,29)\)
• Tiefpunkte: \(T_1(-0,89 \mid -2,29)\), \(T_2(2 \mid 0)\)
• Wendepunkte: \(W_1(0 \mid 0)\), \(W_2(\pm 1,55 \mid \mp 0,99)\)
• Nullstellen: \(x = 0, \pm 2\)

🚗 Sachaufgabe: Das Auto

Ein Auto bewegt sich entsprechend der Funktion \(f(t) = -0,05t^3 + 0,75t^2\).
Dabei ist \(t\) die Zeit in Minuten und \(f(t)\) der zurĂźckgelegte Weg in km.

(Quelle: Buch S. 172, Nr. 3)

Vollständige LÜsung anzeigen

a) Graph zeichnen im Intervall [0; 10]

Wertetabelle erstellen und Punkte verbinden.

b) ZurĂźckgelegter Weg nach 10 Minuten

$$f(10) = -0,05 \cdot 10^3 + 0,75 \cdot 10^2$$

$$= -0,05 \cdot 1000 + 0,75 \cdot 100$$

$$= -50 + 75 = 25 \text{ km}$$

c) Wegstrecke nach 7 Minuten

$$f(7) = -0,05 \cdot 343 + 0,75 \cdot 49$$

$$= -17,15 + 36,75 = 19,6 \text{ km}$$

e) Bedeutung der KrĂźmmung

Ableitungen:

$$f'(t) = -0,15t^2 + 1,5t \quad \text{(Geschwindigkeit)}$$

$$f''(t) = -0,3t + 1,5 \quad \text{(Beschleunigung)}$$

Wendepunkt: \(f''(t) = 0\)

$$-0,3t + 1,5 = 0 \Rightarrow t = 5$$

Interpretation:

  • \(0 < t < 5\): \(f''(t) > 0\) → Linkskurve → Auto beschleunigt
  • \(t > 5\): \(f''(t) < 0\) → Rechtskurve → Auto bremst
  • Bei \(t = 5\): Beschleunigung = 0, Geschwindigkeit maximal

f) Fahrverhalten nach 10 Minuten

$$f'(10) = -0,15 \cdot 100 + 1,5 \cdot 10$$

$$= -15 + 15 = 0$$

Das Auto kommt nach 10 Minuten zum Stillstand.

g) Sinnvoller Definitionsbereich

$$D_f = [0; 10]$$

Begründung: Bei \(t = 10\) steht das Auto still. Für \(t > 10\) würde \(f(t)\) wieder abnehmen, was bedeuten würde, dass das Auto rückwärts fährt – das ist nicht sinnvoll.

Zusammenfassung:
• Nach 10 min: 25 km zurückgelegt
• Bei t = 5 min: maximale Geschwindigkeit
• Bei t = 10 min: Auto steht still
• Sinnvoller Bereich: [0; 10] Minuten

✏️ Zum Selbstüben (ohne Lösung)

Versuche diese Aufgaben selbstständig zu lÜsen!

Übung 1 (S. 172, Nr. 1b)

Untersuchen Sie \(f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + 8x\) vollständig.

Übung 2 (S. 172, Nr. 1d)

Untersuchen Sie \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8\) vollständig.

Übung 3 (S. 172, Nr. 1f)

Untersuchen Sie \(f(x) = x^4 + x^2 - 20\) vollständig.

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