⚡ Der Differenzialquotient

Differenzialrechnung - Teil 2

Vom Differenzenquotienten zum Differenzialquotienten

Definition

Wenn wir den Punkt \(P\) auf dem Graphen immer näher an \(P_0\) schieben (also \(x \to x_0\)), wird aus der Sekante eine Tangente.

Der Grenzwert des Differenzenquotienten heißt Differenzialquotient oder lokale Änderungsrate (Ableitung an der Stelle \(x_0\)).

Formel: Differenzialquotient

$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Alternativ mit \(h\)-Methode (wobei \(x = x_0 + h\)):

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

💡 Beispiel zur h-Methode

Die h-Methode ist oft einfacher, wenn man \(x \to x_0\) unübersichtlich findet. Hier setzt man \(x = x_0 + h\). Wenn \(x\) gegen \(x_0\) läuft, läuft \(h\) gegen 0.

Beispiel: Bestimme die Steigung von \(f(x) = x^2\) an der Stelle \(x_0 = 3\).

  1. Ansatz aufstellen:
    $$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$$
  2. Funktion einsetzen:
    Da \(f(x) = x^2\), ist \(f(3+h) = (3+h)^2\) und \(f(3) = 3^2 = 9\).
    $$\lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$$
  3. Binomische Formel auflösen:
    \((3+h)^2 = 9 + 6h + h^2\)
    $$\lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h}$$
  4. Zusammenfassen:
    Die 9 und -9 heben sich auf.
    $$\lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h}$$
  5. h ausklammern und kürzen:
    $$\lim_{h \to 0} \frac{h(6 + h)}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h)$$
  6. Grenzwert bilden (h wird 0):
    $$6 + 0 = 6$$

Ergebnis: \(f'(3) = 6\).

📝 Lösungen zu den Aufgaben (S. 133)

Aufgabe 1: Steigung bestimmen

Bestimmen Sie mithilfe des Differenzialquotienten die Steigung der Funktionen an der Stelle \(x_0 = 2\).

a) \(f(x) = x^2 - 3\)

  1. Funktionswert berechnen:
    Zuerst berechnen wir den y-Wert an der Stelle \(x_0 = 2\):
    \(f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1\)
  2. Differenzenquotient aufstellen:
    Wir setzen in die Formel \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) ein:
    \(\frac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \frac{(x^2 - 3) - 1}{x - 2}\)
  3. Zähler vereinfachen:
    Wir fassen die Zahlen im Zähler zusammen:
    \(\frac{x^2 - 3 - 1}{x - 2} = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)
  4. Faktorisieren (3. Binomische Formel):
    Wir erkennen im Zähler die Struktur \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\) mit \(a=x\) und \(b=2\):
    \(\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\)
  5. Kürzen:
    Der Term \((x-2)\) taucht oben und unten auf, wir können ihn kürzen:
    \(x + 2\)
  6. Grenzwert bilden (Limes):
    Nun lassen wir \(x\) gegen 2 laufen:
    \(\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\)

Ergebnis: Die Steigung an der Stelle 2 ist 4.

b) \(g(x) = 2x^3 - 5x\)

  1. Funktionswert berechnen:
    \(g(2) = 2(2^3) - 5(2) = 2(8) - 10 = 16 - 10 = 6\)
  2. Differenzenquotient aufstellen:
    \(\frac{g(x) - g(2)}{x - 2} = \frac{(2x^3 - 5x) - 6}{x - 2}\)
  3. Polynomdivision vorbereiten:
    Wir müssen den Term \((2x^3 - 5x - 6)\) durch \((x - 2)\) teilen, um die "böse" Nullstelle im Nenner loszuwerden.
  4. Polynomdivision durchführen:
    \((2x^3 + 0x^2 - 5x - 6) : (x - 2) = 2x^2 + 4x + 3\)
    -(2x³ - 4x²)
    -----------
          4x² - 5x
        -(4x² - 8x)
        -----------
               3x - 6
             -(3x - 6)
             ---------
                    0
  5. Grenzwert bilden:
    Wir setzen \(x=2\) in das Ergebnis der Division ein:
    \(\lim_{x \to 2} (2x^2 + 4x + 3) = 2(2^2) + 4(2) + 3\)
    \(= 2(4) + 8 + 3 = 8 + 8 + 3 = 19\)

Ergebnis: Die Steigung an der Stelle 2 ist 19.

Aufgabe 2: Lokale Änderungsrate

Bestimmen Sie jeweils die lokale Änderungsrate an der Stelle \(x_0 = 1\).

a) \(f(x) = x^3\)

  1. Ansatz: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1^3}{x - 1}\)
  2. Faktorisieren: Wir nutzen die Formel \(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\).
    Hier mit \(a=x, b=1\): \(x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\)
  3. Einsetzen und Kürzen:
    \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x^2+x+1)\)
  4. Grenzwert: \(1^2 + 1 + 1 = 3\)

b) \(f(x) = x^4\)

  1. Ansatz: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1}\)
  2. Faktorisieren (Schrittweise):
    \(x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1)\) (3. Binomische Formel)
    \(= (x-1)(x+1)(x^2+1)\) (nochmal 3. Binomische Formel)
  3. Kürzen:
    \(\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1)(x^2+1)\)
  4. Grenzwert: \((1+1)(1^2+1) = 2 \cdot 2 = 4\)

c) \(f(x) = x^5\)

  1. Ansatz: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^5 - 1}{x - 1}\)
  2. Polynomdivision: \((x^5 - 1) : (x - 1) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\)
  3. Grenzwert: \(1^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 5\)

Erkenntnis (Potenzregel): Für \(f(x) = x^n\) ist die Steigung an der Stelle 1 immer gleich \(n\).

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