⚡ Die Ableitungsfunktion

Differenzialrechnung - Teil 3

Steigung an einer beliebigen Stelle

Von \(x_0\) zu \(x\)

Anstatt die Steigung für jeden Punkt einzeln zu berechnen, können wir \(x_0\) als Variable betrachten. Wir erhalten dann eine neue Funktion, die jedem x-Wert seine Steigung zuordnet.

Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion \(f'(x)\).

💡 Kochrezept: Wie gehe ich vor?

Wenn in der Aufgabe steht: "Bestimmen Sie die Ableitung an der Stelle \(x_0\)" (ohne Zahl), dann ist die allgemeine Formel gesucht.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

  1. Differenzenquotient aufstellen:
    Schreibe den Bruch: \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)
  2. Einsetzen:
    Ersetze \(f(x)\) und \(f(x_0)\) durch die Funktionsterme.
    Beispiel \(f(x)=x^2\): \(\frac{x^2 - x_0^2}{x - x_0}\)
  3. Umformen & Kürzen (Das Wichtigste!):
    Versuche den Term so umzuformen (Ausklammern, Binomische Formeln, Polynomdivision), dass du \((x - x_0)\) kürzen kannst.
    Ziel: Der Nenner muss weg!
  4. Grenzwert bilden:
    Setze für alle verbleibenden \(x\) ein \(x_0\) ein.
    Das Ergebnis ist die Formel für die Steigung \(f'(x_0)\).

📝 Lösungen zu den Aufgaben (S. 134)

Aufgabe 1: Steigung an verschiedenen Stellen

Berechnen Sie die Steigung der Funktionen an den Stellen \(x_0 = -2; x_0 = 3; x_0 = 0\).

a) \(f(x) = 2x^2\)

  1. Allgemeinen Differenzenquotienten aufstellen:
    Wir wollen die Steigung für einen beliebigen Punkt \(x_0\) berechnen.
    \(\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{2x^2 - 2x_0^2}{x - x_0}\)
  2. Faktor ausklammern:
    Wir klammern die 2 im Zähler aus, um die Struktur besser zu sehen:
    \(\frac{2(x^2 - x_0^2)}{x - x_0}\)
  3. 3. Binomische Formel anwenden:
    Der Term \((x^2 - x_0^2)\) lässt sich zerlegen in \((x - x_0)(x + x_0)\):
    \(\frac{2(x - x_0)(x + x_0)}{x - x_0}\)
  4. Kürzen:
    Der "Störenfried" \((x - x_0)\) (der für \(x \to x_0\) Null werden würde) kürzt sich weg:
    \(2(x + x_0)\)
  5. Grenzwert bilden (Ableitungsfunktion):
    Wir lassen \(x\) gegen \(x_0\) laufen:
    \(f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} 2(x + x_0) = 2(x_0 + x_0) = 2(2x_0) = 4x_0\)

Die Ableitungsfunktion lautet: \(f'(x) = 4x\)

Nun setzen wir die geforderten Werte in \(f'(x) = 4x\) ein:

Stelle \(x_0\) Rechnung Steigung
-2 \(f'(-2) = 4 \cdot (-2)\) -8
3 \(f'(3) = 4 \cdot 3\) 12
0 \(f'(0) = 4 \cdot 0\) 0

b) \(g(x) = x^3 + x\)

  1. Differenzenquotient aufstellen:
    \(\frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \frac{(x^3 + x) - (x_0^3 + x_0)}{x - x_0}\)
  2. Terme ordnen:
    Wir sortieren den Zähler so, dass Potenzen gleichen Grades zusammenstehen:
    \(\frac{(x^3 - x_0^3) + (x - x_0)}{x - x_0}\)
  3. Bruch aufspalten:
    Wir teilen den Bruch in zwei Teile auf:
    \(\frac{x^3 - x_0^3}{x - x_0} + \frac{x - x_0}{x - x_0}\)
  4. Vereinfachen:
    Rechter Teil: \(\frac{x - x_0}{x - x_0} = 1\)
    Linker Teil: Polynomdivision \((x^3 - x_0^3) : (x - x_0) = x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2\)
    Gesamt: \(x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2 + 1\)
  5. Grenzwert bilden:
    Wir lassen \(x\) gegen \(x_0\) laufen:
    \(g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} (x^2 + x \cdot x_0 + x_0^2 + 1)\)
    \(= x_0^2 + x_0 \cdot x_0 + x_0^2 + 1\)
    \(= x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 + 1 = 3x_0^2 + 1\)

Die Ableitungsfunktion lautet: \(g'(x) = 3x^2 + 1\)

Einsetzen der Werte in \(g'(x) = 3x^2 + 1\):

Stelle \(x_0\) Rechnung Steigung
-2 \(3 \cdot (-2)^2 + 1 = 3 \cdot 4 + 1\) 13
3 \(3 \cdot 3^2 + 1 = 3 \cdot 9 + 1\) 28
0 \(3 \cdot 0^2 + 1\) 1

Aufgabe 2: Differenzierbarkeit (Betragsfunktion)

Betrachtet wird \(f(x) = |x|\).

a) Skizze und Begründung

Graph von f(x) = |x|

Warum ist die Funktion bei \(x_0 = 0\) nicht differenzierbar?

  1. Anschaulich:
    Der Graph hat im Ursprung einen "Knick". Eine Tangente muss sich an den Graphen "schmiegen". In einer Spitze kann man die Tangente aber wackeln lassen, es gibt keine eindeutige Richtung.
  2. Rechnerisch (Linksseitiger Grenzwert):
    Wir nähern uns der 0 von links (negative Zahlen). Für \(x < 0\) ist \(|x| = -x\).
    Steigung: \(\frac{-x - 0}{x - 0} = \frac{-x}{x} = -1\)
  3. Rechnerisch (Rechtsseitiger Grenzwert):
    Wir nähern uns der 0 von rechts (positive Zahlen). Für \(x > 0\) ist \(|x| = x\).
    Steigung: \(\frac{x - 0}{x - 0} = \frac{x}{x} = 1\)
  4. Fazit:
    Da -1 ungleich 1 ist, gibt es keinen eindeutigen Grenzwert. Die Funktion ist an dieser Stelle nicht differenzierbar.

b) Weitere Beispiele

Funktionen sind oft dort nicht differenzierbar, wo sie:

  • Sprungstellen haben (nicht stetig sind).
  • Knicke haben (wie die Betragsfunktion).
  • Senkrechte Tangenten haben (Steigung unendlich, z.B. \(\sqrt[3]{x}\) bei \(x=0\)).

Wie geht es weiter?

Das Berechnen mit dem Differenzenquotienten ist auf Dauer sehr mühsam. Zum Glück gibt es Abkürzungen!

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