Einführung Integralrechnung - Mathe Lernzettel

📏 4.1.1 — Die Flächeninhaltsfunktion

Wie berechnet man die Fläche unter einer gekrümmten Kurve? Die Idee: Man nähert die Fläche durch Rechteckstreifen an, die immer schmaler werden.

💡 Grundidee: Streifenmethode

Die Fläche unter dem Graphen wird in $n$ Rechtecke mit Breite $\frac{x}{n}$ aufgeteilt:

Untersumme $U_n$: Rechteckhöhe = kleinster Funktionswert im Streifen → Fläche wird unterschätzt
Obersumme $O_n$: Rechteckhöhe = größter Funktionswert im Streifen → Fläche wird überschätzt
Für $n \to \infty$: Beide Summen nähern sich demselben Grenzwert → exakte Fläche

Merksatz: Integrierbarkeit

Falls für $n \to \infty$ die Grenzwerte von Ober- und Untersumme existieren und übereinstimmen, heißt die Funktion integrierbar:

$$\lim_{n\to\infty} U_n = \lim_{n\to\infty} O_n = A$$

📝 Beispiel: Ober- & Untersumme für $n = 8$ (S. 205)

Bestimme Ober- und Untersumme für $f(x) = x^2$ auf dem Intervall $[0; 2]$ mit $n = 8$ Streifen.

Lösung

Streifenbreite

$$\Delta x = \frac{2 - 0}{8} = 0{,}25$$

Stützstellen: $0;\; 0{,}25;\; 0{,}5;\; 0{,}75;\; 1;\; 1{,}25;\; 1{,}5;\; 1{,}75;\; 2$

Obersumme $O_8$

Da $f(x)=x^2$ auf $[0;2]$ monoton steigend ist, nimmt man jeweils den rechten Rand:

$$O_8 = 0{,}25 \cdot \bigl[f(0{,}25) + f(0{,}5) + f(0{,}75) + f(1) + f(1{,}25) + f(1{,}5) + f(1{,}75) + f(2)\bigr]$$

$$= 0{,}25 \cdot [0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625 + 1 + 1{,}5625 + 2{,}25 + 3{,}0625 + 4]$$

$$= 0{,}25 \cdot 12{,}75 = \frac{51}{16} = 3{,}1875$$

Untersumme $U_8$

Jeweils den linken Rand (kleinster Wert bei steigender Funktion):

$$U_8 = 0{,}25 \cdot \bigl[f(0) + f(0{,}25) + f(0{,}5) + f(0{,}75) + f(1) + f(1{,}25) + f(1{,}5) + f(1{,}75)\bigr]$$

$$= 0{,}25 \cdot [0 + 0{,}0625 + 0{,}25 + 0{,}5625 + 1 + 1{,}5625 + 2{,}25 + 3{,}0625]$$

$$= 0{,}25 \cdot 8{,}75 = \frac{35}{16} = 2{,}1875$$

Ergebnis: $2{,}1875 \leq A \leq 3{,}1875$. Die tatsächliche Fläche liegt zwischen Unter- und Obersumme.

🔬 Flächeninhaltsfunktion der Normalparabel (S. 206)

Wir bestimmen die exakte Fläche unter $f(x) = x^2$ auf $[0; x]$ mit $n$ Streifen und lassen $n \to \infty$.

Herleitung

Obersumme mit $n$ Streifen

Streifenbreite $\Delta x = \frac{x}{n}$, Rechteckhöhen: $f\!\left(\frac{kx}{n}\right) = \left(\frac{kx}{n}\right)^2$ für $k = 1, 2, \ldots, n$

$$O_n = \frac{x}{n} \cdot \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{kx}{n}\right)^2 = \frac{x}{n} \cdot \frac{x^2}{n^2} \cdot \sum_{k=1}^{n} k^2$$

Quadratzahlen-Summe einsetzen

Mit $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:

$$O_n = \frac{x^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = x^3 \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}$$

$$= x^3 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}\right)$$

Grenzwert $n \to \infty$

$$\lim_{n\to\infty} O_n = x^3 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x^3$$

Ebenso: $U_n = O_n - \frac{x}{n}\cdot x^2 = O_n - \frac{x^3}{n} \xrightarrow{n\to\infty} \frac{1}{3}x^3$

Ergebnis: Die Flächeninhaltsfunktion der Normalparabel ist $A_0(x) = \frac{1}{3}x^3$.

📋 Randfunktion und Flächeninhaltsfunktion (S. 207)

Die Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$ gibt die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse auf dem Intervall $[0; x]$ an.

Randfunktion $f(x)$	Flächeninhaltsfunktion $A_0(x)$	Beziehung
$f(x) = 20$	$A_0(x) = 20x$	$A_0'(x) = 20 = f(x)\;\checkmark$
$f(x) = x$	$A_0(x) = \frac{1}{2}x^2$	$A_0'(x) = x = f(x)\;\checkmark$
$f(x) = x + 20$	$A_0(x) = \frac{1}{2}x^2 + 20x$	$A_0'(x) = x + 20 = f(x)\;\checkmark$
$f(x) = x^2$	$A_0(x) = \frac{1}{3}x^3$	$A_0'(x) = x^2 = f(x)\;\checkmark$

⚠️ Schlüsselerkenntnis

In jedem Fall gilt: $A_0'(x) = f(x)$.

Die Randfunktion $f$ ist immer die Ableitung der Flächeninhaltsfunktion $A_0$. Umgekehrt ist $A_0$ eine Stammfunktion von $f$!

Beispiel: Fläche über einem Intervall $[a;\,b]$ (S. 208)

Bestimme die Fläche unter $f(x) = x^2$ im Intervall $[1;\,2]$.

Flächeninhaltsfunktion nutzen

$$A = A_0(2) - A_0(1) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 - \frac{1}{3} \cdot 1^3 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$$

Ergebnis: $A = \frac{7}{3}$ FE

🔑 4.1.2 — Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Definition: Stammfunktion

Eine differenzierbare Funktion $F$ heißt Stammfunktion von $f$, falls gilt:

$$F'(x) = f(x)$$

Das Bilden der Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung.

Beispiel: Eine Funktion — viele Stammfunktionen (S. 210)

Für $f(x) = x^3$ sind z. B. Stammfunktionen:

$F_1(x) = 0{,}25x^4$, denn $F_1'(x) = x^3 = f(x)\;\checkmark$

$F_2(x) = 0{,}25x^4 + 1$, denn $F_2'(x) = x^3 = f(x)\;\checkmark$

$F_3(x) = 0{,}25x^4 - 17$, denn $F_3'(x) = x^3 = f(x)\;\checkmark$

Allgemein: $F(x) = 0{,}25x^4 + C$ mit $C \in \mathbb{R}$ — es gibt unendlich viele Stammfunktionen.

⚠️ Integrationskonstante $C$

Ist $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann ist $F(x) + C$ mit $C \in \mathbb{R}$ die Menge aller Stammfunktionen von $f$.

Man schreibt das unbestimmte Integral:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

📐 Integrationsregeln (S. 210)

Potenzregel

$$\int x^n\,dx = \frac{1}{n+1}\,x^{n+1} + C \qquad (n \neq -1)$$

"Exponent um 1 erhöhen, durch neuen Exponent teilen."

Beispiel: $\displaystyle\int x^4\,dx = \frac{1}{5}x^5 + C$

Faktorregel

$$\int a \cdot f(x)\,dx = a \cdot \int f(x)\,dx$$

Ein konstanter Faktor darf vor das Integral gezogen werden.

Beispiel: $\displaystyle\int 5x^3\,dx = 5 \cdot \frac{1}{4}x^4 + C = \frac{5}{4}x^4 + C$

Summenregel

$$\int \bigl[f(x) + g(x)\bigr]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$$

Eine Summe darf gliedweise integriert werden.

Beispiel: $\displaystyle\int (x^2 + x)\,dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$

Kombiniertes Beispiel (S. 211)

Bestimme $\displaystyle\int (2x^3 + 3x^2 - x + 4)\,dx$.

Gliedweise integrieren

$$\int (2x^3 + 3x^2 - x + 4)\,dx = 2 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 4x + C$$

$$= \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C$$

Ergebnis: $F(x) = \frac{1}{2}x^4 + x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C$

∫ 4.1.3 — Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Schreibweise: Bestimmtes Integral

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

$b$ = obere Grenze
$a$ = untere Grenze
$f(x)$ = Integrand
$dx$ = Differenzial (zeigt die Integrationsvariable an)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

$$\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[F(x)\bigr]_a^b = F(b) - F(a)$$

"Obere Grenze einsetzen minus untere Grenze einsetzen."

🏗️ Beispiel: Frontfläche des Berliner Bogens (S. 212)

Die Glasfläche der Frontseite des Bürogebäudes "Berliner Bogen" in Hamburg lässt sich durch die Funktion $f(x) = -\frac{1}{42}x^2 + 36$ über dem Intervall $I = [15;\,39]$ beschreiben. Wie viel m² Glas werden benötigt?

Lösung

Schritt 1: Stammfunktion bilden

$$F(x) = -\frac{1}{126}x^3 + 36x$$

Schritt 2: Hauptsatz anwenden

$$A = \int_{15}^{39} \left(-\frac{1}{42}x^2 + 36\right)\,dx = \left[-\frac{1}{126}x^3 + 36x\right]_{15}^{39}$$

$$= \left(-\frac{59\,319}{126} + 1404\right) - \left(-\frac{3375}{126} + 540\right)$$

$$= \left(-470{,}786\ldots + 1404\right) - \left(-26{,}786\ldots + 540\right)$$

$$= 933{,}214\ldots - 513{,}214\ldots = 420$$

Ergebnis: Es werden 420 m² Glas benötigt.

📝 Beispiel: Hauptsatz-Anwendung (S. 213)

Berechne $\displaystyle\int_2^3 (-3x^2 + 30)\,dx$.

Lösung

$$\int_2^3 (-3x^2 + 30)\,dx = \bigl[-x^3 + 30x + C\bigr]_2^3$$

$$= (-27 + 90 + C) - (-8 + 60 + C) = 63 + C - 52 - C = 11$$

Ergebnis: $\displaystyle\int_2^3 (-3x^2+30)\,dx = 11$ FE. Die Konstante $C$ fällt beim bestimmten Integral immer weg!

🔄 Beispiel: y-Achsensymmetrie nutzen (S. 214)

Berechne die Fläche unter $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 3$ über dem Intervall $[-2;\,2]$.

Lösung

Symmetrie erkennen

$f(x)$ enthält nur gerade Potenzen → achsensymmetrisch zur y-Achse.

Daher: $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\,dx = 2 \cdot \int_0^{2} f(x)\,dx$

Berechnung

$$A = 2 \cdot \int_0^{2} \left(\frac{1}{2}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 3\right)\,dx = 2 \cdot \left[\frac{1}{10}x^5 - \frac{1}{2}x^3 + 3x\right]_0^{2}$$

$$= 2 \cdot \left(\frac{32}{10} - \frac{8}{2} + 6\right) = 2 \cdot \left(\frac{16}{5} - 4 + 6\right) = 2 \cdot \frac{26}{5} = \frac{52}{5} = 10{,}4$$

Ergebnis: $A = \frac{52}{5} = 10{,}4$ FE

📝 Rechenregeln für bestimmte Integrale (S. 214)

1

Faktorregel

$$\int_a^b c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_a^b f(x)\,dx$$

Beispiel: $\displaystyle\int_1^4 7x^2\,dx = 7 \cdot \left[\frac{1}{3}x^3\right]_1^4 = 7 \cdot 21 = 147$

2

Summenregel

$$\int_a^b \bigl[f(x) + g(x)\bigr]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx$$

Beispiel (von rechts nach links):

$\displaystyle\int_2^3 (3x^2 + 4x)\,dx + \int_2^3 (2x^2 - 4x)\,dx = \int_2^3 5x^2\,dx = \left[\frac{5}{3}x^3\right]_2^3 = 45 - \frac{40}{3} = \frac{95}{3}$

3

Intervalladditivität

$$\int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx$$

Beispiel: $\displaystyle\int_{-1}^{2} 6x^2\,dx + \int_2^5 6x^2\,dx = \int_{-1}^{5} 6x^2\,dx = \bigl[2x^3\bigr]_{-1}^5 = 250 - (-2) = 252$

4

Vertauschen der Integrationsgrenzen

$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx$$

Beispiel: $\displaystyle\int_1^4 x^3\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_1^4 = 64 - \frac{1}{4} = 63{,}75$ und $\displaystyle -\int_4^1 x^3\,dx = -\left(\frac{1}{4} - 64\right) = 63{,}75\;\checkmark$

✏️ Übungen zu 4.1.1 — Streifenmethode & Flächeninhaltsfunktion

Übung (Test 4.1, Nr. 1): $O_4$ und $U_4$ berechnen

Bestimme die Ober- und Untersumme $O_4$ und $U_4$ für $f(x) = x^2 + x$ über dem Intervall $[0;\,4]$.

Lösung anzeigen

Streifenbreite & Funktionswerte

$\Delta x = \frac{4-0}{4} = 1$. Stützstellen: $0, 1, 2, 3, 4$.

$f(0)=0,\; f(1)=2,\; f(2)=6,\; f(3)=12,\; f(4)=20$

Obersumme (rechte Ränder)

$$O_4 = 1 \cdot [f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] = 2 + 6 + 12 + 20 = 40$$

Untersumme (linke Ränder)

$$U_4 = 1 \cdot [f(0) + f(1) + f(2) + f(3)] = 0 + 2 + 6 + 12 = 20$$

Ergebnis: $U_4 = 20,\quad O_4 = 40$. Die Fläche liegt zwischen 20 und 40.

Übung (S. 208, Nr. 6): Fläche mit $A_0$ berechnen

Berechne die Fläche unter dem Graphen von $f$ mit Hilfe der Flächeninhaltsfunktion $A_0$:
a) $f(x) = \frac{1}{4}x^2;\; I = [0;\,5]$
b) $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1;\; I = [0;\,3]$
c) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3;\; I = [0;\,2]$

Lösung anzeigen

a) $f(x) = \frac{1}{4}x^2$

$A_0(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{1}{12}x^3$

$$A = A_0(5) = \frac{1}{12} \cdot 125 = \frac{125}{12} \approx 10{,}42 \text{ FE}$$

b) $f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1$

$A_0(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + x = \frac{1}{9}x^3 + x$

$$A = A_0(3) = \frac{27}{9} + 3 = 3 + 3 = 6 \text{ FE}$$

c) $f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3$

$A_0(x) = -\frac{1}{9}x^3 + 3x$

$$A = A_0(2) = -\frac{8}{9} + 6 = \frac{46}{9} \approx 5{,}11 \text{ FE}$$

✏️ Übungen zu 4.1.2 — Stammfunktionen

Übung (S. 211, Nr. 1): Menge aller Stammfunktionen

Gib die Menge aller Stammfunktionen an:
a) $f(x) = 5x$
b) $f(x) = 8x^3 + 2x$
c) $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5$
e) $f(x) = \frac{1}{x^2}$
f) $f(x) = 3x^4 - \frac{1}{x}$

Lösung anzeigen

a) $f(x) = 5x$

$$F(x) = \frac{5}{2}x^2 + C$$

b) $f(x) = 8x^3 + 2x$

$$F(x) = 2x^4 + x^2 + C$$

c) $f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5$

$$F(x) = x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C$$

e) $f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}$

$$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$

f) $f(x) = 3x^4 - \frac{1}{x}$

$\frac{1}{x} = x^{-1}$ ist der Sonderfall $n = -1$: Stammfunktion ist $\ln|x|$.

$$F(x) = \frac{3}{5}x^5 - \ln|x| + C$$

Übung (S. 211, Nr. 2): Stammfunktion durch einen Punkt

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = x^2 + 2x - \frac{1}{3}$, deren Graph durch den Punkt $P(1\,|\,4)$ verläuft.

Lösung anzeigen

Allgemeine Stammfunktion

$$F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - \frac{1}{3}x + C$$

Bedingung $F(1) = 4$

$$\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{3} + C = 4 \implies 1 + C = 4 \implies C = 3$$

Ergebnis: $F(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 - \frac{1}{3}x + 3$

Übung (Test 4.1, Nr. 2): Stammfunktionen angeben

Gib jeweils eine Stammfunktion an:
a) $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 1$
b) $f(x) = 4x^3 + 2x^2 + x$
e) $f(x) = \sqrt{x}$
f) $f(x) = x^{-2}$

Lösung anzeigen

a) $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 1$

$$F(x) = -\frac{1}{6}x^3 + x + C$$

b) $f(x) = 4x^3 + 2x^2 + x$

$$F(x) = x^4 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$$

e) $f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$

$$F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$$

f) $f(x) = x^{-2}$

$$F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$

Übung (Test 4.1, Nr. 3): Stammfunktion durch einen Punkt

Bestimme die Stammfunktion $F$ von $f(x) = -x^3 + x^2 + 2$, deren Graph durch $P(2\,|\,27)$ verläuft.

Lösung anzeigen

Allgemeine Stammfunktion

$$F(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 2x + C$$

Bedingung $F(2) = 27$

$$F(2) = -\frac{16}{4} + \frac{8}{3} + 4 + C = -4 + \frac{8}{3} + 4 + C = \frac{8}{3} + C = 27$$

$$C = 27 - \frac{8}{3} = \frac{81 - 8}{3} = \frac{73}{3}$$

Ergebnis: $F(x) = -\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + 2x + \frac{73}{3}$

✏️ Übungen zu 4.1.3 — Bestimmte Integrale

Übung (S. 215): Integrale mit Regeln berechnen

Berechne und benenne die verwendete Regel:
a) $\displaystyle\int_1^3 3(5x - x^2)\,dx$
b) $\displaystyle 16 \cdot \int_2^4 \frac{1}{16}x^3\,dx$

Lösung anzeigen

a) Faktorregel

$$\int_1^3 3(5x - x^2)\,dx = 3 \cdot \int_1^3 (5x - x^2)\,dx = 3 \cdot \left[\frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_1^3$$

$$= 3 \cdot \left[\left(\frac{45}{2} - 9\right) - \left(\frac{5}{2} - \frac{1}{3}\right)\right] = 3 \cdot \left[\frac{27}{2} - \frac{13}{6}\right] = 3 \cdot \frac{68}{6} = 3 \cdot \frac{34}{3}$$

$$= 34$$

b) Faktorregel

$$16 \cdot \int_2^4 \frac{1}{16}x^3\,dx = \int_2^4 x^3\,dx = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_2^4 = 64 - 4 = 60$$

Übung (S. 215, Nr. 1): Fläche über einem Intervall

Berechne die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse:
a) $f(x) = \frac{2}{3}x^2;\; [1;\,4]$
b) $f(x) = -x^2 + 2;\; [0;\,1]$

Lösung anzeigen

a) $f(x) = \frac{2}{3}x^2$ auf $[1;\,4]$

$$A = \int_1^4 \frac{2}{3}x^2\,dx = \left[\frac{2}{9}x^3\right]_1^4 = \frac{128}{9} - \frac{2}{9} = \frac{126}{9} = 14 \text{ FE}$$

b) $f(x) = -x^2 + 2$ auf $[0;\,1]$

$$A = \int_0^1 (-x^2 + 2)\,dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 2x\right]_0^1 = -\frac{1}{3} + 2 = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \text{ FE}$$

Übung (Test 4.1, Nr. 5): Bestimmte Integrale

Berechne:
a) $\displaystyle\int_0^3 \left(\frac{1}{3}x^4 + 2x^2\right)\,dx$
b) $\displaystyle\int_1^3 (x^3 + 0{,}5x^2 + 1{,}5)\,dx + \int_3^4 (x^3 + 0{,}5x^2 + 1{,}5)\,dx$

Lösung anzeigen

a)

$$\int_0^3 \left(\frac{1}{3}x^4 + 2x^2\right)\,dx = \left[\frac{1}{15}x^5 + \frac{2}{3}x^3\right]_0^3$$

$$= \frac{243}{15} + \frac{54}{3} = \frac{81}{5} + 18 = 16{,}2 + 18 = 34{,}2$$

b) Intervalladditivität nutzen

$$\int_1^3 (\ldots)\,dx + \int_3^4 (\ldots)\,dx = \int_1^4 (x^3 + 0{,}5x^2 + 1{,}5)\,dx$$

$$= \left[\frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{6}x^3 + 1{,}5x\right]_1^4$$

$$= \left(64 + \frac{64}{6} + 6\right) - \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + 1{,}5\right)$$

$$= \left(64 + 10{,}\overline{6} + 6\right) - \left(0{,}25 + 0{,}1\overline{6} + 1{,}5\right)$$

$$= 80{,}\overline{6} - 1{,}91\overline{6} = 78{,}75$$

✏️ Gemischte Übungen zu 4.1 (S. 216)

Übung (S. 216, Nr. 1): Stammfunktionen mit Integrationsregeln

Bestimme jeweils eine Stammfunktion:
a) $f(x) = x + 5$
c) $f(x) = x^3$
d) $f(x) = 2{,}7x^2 - 6x$
g) $f(x) = 2{,}5x^4 - 12x^2 + 4$

Lösung anzeigen

a) Potenz- + Summenregel

$$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + 5x + C$$

c) Potenzregel

$$F(x) = \frac{1}{4}x^4 + C$$

d) Faktor- + Summenregel

$$F(x) = 0{,}9x^3 - 3x^2 + C$$

g) Faktor- + Potenz- + Summenregel

$$F(x) = 0{,}5x^5 - 4x^3 + 4x + C$$

Übung (S. 216, Nr. 3): Fläche im I. und II. Quadranten

Bestimme die Fläche, die der Graph von $f(x) = -x^2 + 5x - 4$ im I. und II. Quadranten mit der x-Achse einschließt.

Lösung anzeigen

Nullstellen

$$-x^2 + 5x - 4 = 0 \implies x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-1)(x-4) = 0$$

$x_1 = 1,\; x_2 = 4$. Da $f(2) = -4 + 10 - 4 = 2 > 0$: Graph liegt oberhalb der x-Achse.

Fläche berechnen

$$A = \int_1^4 (-x^2 + 5x - 4)\,dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 4x\right]_1^4$$

$$= \left(-\frac{64}{3} + 40 - 16\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{5}{2} - 4\right)$$

$$= \left(-\frac{64}{3} + 24\right) - \left(-\frac{1}{3} - \frac{3}{2}\right) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} + \frac{3}{2} = 3 + 1{,}5 = \frac{9}{2}$$

Ergebnis: $A = \frac{9}{2} = 4{,}5$ FE

Übung (S. 216, Nr. 4): Fläche oberhalb der x-Achse

Bestimme die Nullstellen und die Fläche, die der Graph von $f(x) = 4x - x^2$ oberhalb der x-Achse einschließt.

Lösung anzeigen

Nullstellen

$$4x - x^2 = 0 \implies x(4 - x) = 0 \implies x_1 = 0,\; x_2 = 4$$

$f(2) = 8 - 4 = 4 > 0$ → oberhalb der x-Achse auf $[0;\,4]$.

Fläche berechnen

$$A = \int_0^4 (4x - x^2)\,dx = \left[2x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_0^4 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$$

Ergebnis: $A = \frac{32}{3} \approx 10{,}67$ FE

Randfunktion \(f(x)\)	Flächeninhaltsfunktion \(A_0(x)\)	Beziehung
\(f(x) = 20\)	\(A_0(x) = 20x\)	\(A_0'(x) = 20 = f(x)\;\checkmark\)
\(f(x) = x\)	\(A_0(x) = \frac{1}{2}x^2\)	\(A_0'(x) = x = f(x)\;\checkmark\)
\(f(x) = x + 20\)	\(A_0(x) = \frac{1}{2}x^2 + 20x\)	\(A_0'(x) = x + 20 = f(x)\;\checkmark\)
\(f(x) = x^2\)	\(A_0(x) = \frac{1}{3}x^3\)	\(A_0'(x) = x^2 = f(x)\;\checkmark\)

📐Einführung in die Integralrechnung

4.1.1 Streifenmethode

4.1.2 Stammfunktionen

4.1.3 Bestimmtes Integral

📏 4.1.1 — Die Flächeninhaltsfunktion

💡 Grundidee: Streifenmethode

Merksatz: Integrierbarkeit

📝 Beispiel: Ober- & Untersumme für \(n = 8\) (S. 205)

Lösung

Streifenbreite

Obersumme \(O_8\)

Untersumme \(U_8\)

🔬 Flächeninhaltsfunktion der Normalparabel (S. 206)

Herleitung

Obersumme mit \(n\) Streifen

Quadratzahlen-Summe einsetzen

Grenzwert \(n \to \infty\)

📋 Randfunktion und Flächeninhaltsfunktion (S. 207)

⚠️ Schlüsselerkenntnis

Beispiel: Fläche über einem Intervall \([a;\,b]\) (S. 208)

Flächeninhaltsfunktion nutzen

🔑 4.1.2 — Stammfunktionen und unbestimmte Integrale

Definition: Stammfunktion

Beispiel: Eine Funktion — viele Stammfunktionen (S. 210)

⚠️ Integrationskonstante \(C\)

📐 Integrationsregeln (S. 210)

Potenzregel

Faktorregel

Summenregel

Kombiniertes Beispiel (S. 211)

Gliedweise integrieren

∫ 4.1.3 — Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Schreibweise: Bestimmtes Integral

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

🏗️ Beispiel: Frontfläche des Berliner Bogens (S. 212)

Lösung

Schritt 1: Stammfunktion bilden

Schritt 2: Hauptsatz anwenden

📝 Beispiel: Hauptsatz-Anwendung (S. 213)

Lösung

🔄 Beispiel: y-Achsensymmetrie nutzen (S. 214)

Lösung

Symmetrie erkennen

Berechnung

📝 Rechenregeln für bestimmte Integrale (S. 214)

Faktorregel

Summenregel

Intervalladditivität

Vertauschen der Integrationsgrenzen

✏️ Übungen zu 4.1.1 — Streifenmethode & Flächeninhaltsfunktion

Übung (Test 4.1, Nr. 1): \(O_4\) und \(U_4\) berechnen

Streifenbreite & Funktionswerte

Obersumme (rechte Ränder)

Untersumme (linke Ränder)

Übung (S. 208, Nr. 6): Fläche mit \(A_0\) berechnen

a) \(f(x) = \frac{1}{4}x^2\)

b) \(f(x) = \frac{1}{3}x^2 + 1\)

c) \(f(x) = -\frac{1}{3}x^2 + 3\)

✏️ Übungen zu 4.1.2 — Stammfunktionen

Übung (S. 211, Nr. 1): Menge aller Stammfunktionen

a) \(f(x) = 5x\)

b) \(f(x) = 8x^3 + 2x\)

c) \(f(x) = 4x^3 - 2x^2 + 5\)

e) \(f(x) = \frac{1}{x^2} = x^{-2}\)

f) \(f(x) = 3x^4 - \frac{1}{x}\)

Übung (S. 211, Nr. 2): Stammfunktion durch einen Punkt

Allgemeine Stammfunktion

Bedingung \(F(1) = 4\)

Übung (Test 4.1, Nr. 2): Stammfunktionen angeben

a) \(f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 1\)

b) \(f(x) = 4x^3 + 2x^2 + x\)

e) \(f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}\)

f) \(f(x) = x^{-2}\)

Übung (Test 4.1, Nr. 3): Stammfunktion durch einen Punkt

Allgemeine Stammfunktion

Bedingung \(F(2) = 27\)

✏️ Übungen zu 4.1.3 — Bestimmte Integrale

Übung (S. 215): Integrale mit Regeln berechnen

a) Faktorregel

b) Faktorregel