✏Aufgaben: Integralrechnung

Übungsaufgaben mit ausfĂŒhrlichen Lösungen (S. 220–227)

📋 AufgabenĂŒbersicht

Alle Aufgaben orientieren sich am Schulbuch Kapitel 4 (Integralrechnung). Klicke auf "Lösung anzeigen" um die vollstÀndige Lösung zu sehen.

📏 Teil 1: Stammfunktionen bestimmen

✏ Grundintegrale

Aufgabe 1

Bestimme die Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
a) \(f(x) = 4x^3\)
b) \(f(x) = 6x^2 + 2x - 5\)
c) \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + 1\)
Lösung anzeigen

a) \(f(x) = 4x^3\)

$$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + C = x^4 + C$$

Probe: \(F'(x) = 4x^3 = f(x)\) ✓

b) \(f(x) = 6x^2 + 2x - 5\)

$$F(x) = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = 2x^3 + x^2 - 5x + C$$

Probe: \(F'(x) = 6x^2 + 2x - 5 = f(x)\) ✓

c) \(f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + 1\)

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = \frac{1}{10}x^5 - x^3 + x + C$$

Probe: \(F'(x) = \frac{1}{2}x^4 - 3x^2 + 1 = f(x)\) ✓

Aufgabe 2

Bestimme die Stammfunktionen:
a) \(f(x) = -0{,}5x^3 + 2{,}5x^2 - x + 3\)
b) \(f(x) = 0{,}25x^4 - 3x^2 + 9e^2\)
c) \(f(x) = x^2 - 2x^{-2}\)
Lösung anzeigen

a)

$$F(x) = -0{,}5 \cdot \frac{x^4}{4} + 2{,}5 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 3x + C$$

$$= -\frac{1}{8}x^4 + \frac{5}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 3x + C$$

b)

$$F(x) = 0{,}25 \cdot \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 9e^2 \cdot x + C$$

$$= \frac{1}{20}x^5 - x^3 + 9e^2 x + C$$

Hinweis: \(9e^2\) ist eine Konstante!

c)

$$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^3}{3} + \frac{2}{x} + C$$

📊 Teil 2: Bestimmte Integrale berechnen

✏ Integrale auswerten

Aufgabe 3

Berechne die bestimmten Integrale:
a) \(\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx\)
b) \(\int_{-1}^{3} (x^2 - 4) \, dx\)
c) \(\int_1^4 (2x - 1) \, dx\)
Lösung anzeigen

a) \(\int_0^2 (3x^2 + 2x) \, dx\)

$$F(x) = x^3 + x^2$$

$$\left[x^3 + x^2\right]_0^2 = (8 + 4) - (0 + 0) = 12$$

b) \(\int_{-1}^{3} (x^2 - 4) \, dx\)

$$F(x) = \frac{x^3}{3} - 4x$$

$$\left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-1}^{3} = \left(\frac{27}{3} - 12\right) - \left(\frac{-1}{3} + 4\right)$$

$$= (9 - 12) - (-\frac{1}{3} + 4) = -3 - \frac{11}{3} = -\frac{20}{3} \approx -6{,}67$$

c) \(\int_1^4 (2x - 1) \, dx\)

$$F(x) = x^2 - x$$

$$\left[x^2 - x\right]_1^4 = (16 - 4) - (1 - 1) = 12$$

Ergebnisse: a) 12  |  b) \(-\frac{20}{3}\)  |  c) 12

Aufgabe 4 (S. 222, Nr. 2)

Bestimme die FlĂ€che zwischen der x-Achse und dem Graphen von \(f\) ĂŒber dem Intervall \([a, b]\):
a) \(f(x) = x^2,\; [0, 3]\)
b) \(f(x) = 0{,}5x^2 + 2x;\; [-2, 3]\)
Lösung anzeigen

a) \(f(x) = x^2\) auf \([0, 3]\)

\(f(x) \geq 0\) auf \([0, 3]\), daher keine Aufteilung nötig.

$$A = \int_0^3 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9$$

b) \(f(x) = 0{,}5x^2 + 2x\) auf \([-2, 3]\)

Nullstellen: \(0{,}5x^2 + 2x = 0 \Rightarrow x(0{,}5x + 2) = 0\)

\(x_1 = 0, \quad x_2 = -4\)

\(x_2 = -4\) liegt außerhalb des Intervalls. PrĂŒfe Vorzeichen:

\(f(-1) = 0{,}5 - 2 = -1{,}5 < 0\) → auf \([-2, 0]\) negativ

\(f(1) = 0{,}5 + 2 = 2{,}5 > 0\) → auf \([0, 3]\) positiv

$$A = \left|\int_{-2}^{0} (0{,}5x^2 + 2x)\,dx\right| + \int_0^3 (0{,}5x^2 + 2x)\,dx$$

$$F(x) = \frac{x^3}{6} + x^2$$

$$A_1 = \left|F(0) - F(-2)\right| = \left|0 - \left(-\frac{8}{6} + 4\right)\right| = \left|-\frac{8}{3}\right| = \frac{8}{3}$$

$$A_2 = F(3) - F(0) = \left(\frac{27}{6} + 9\right) - 0 = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$$

$$A = \frac{8}{3} + \frac{27}{2} = \frac{16 + 81}{6} = \frac{97}{6} \approx 16{,}17$$

Ergebnisse: a) 9 FE  |  b) \(\frac{97}{6} \approx 16{,}17\) FE

📐 Teil 3: FlĂ€chenberechnung

✏ FlĂ€che zwischen Graph und x-Achse

Aufgabe 5 (S. 222, Nr. 1)

Bestimme die GrĂ¶ĂŸe der FlĂ€che, die von der x-Achse und dem Graphen der Funktion \(f\) vollstĂ€ndig umschlossen wird:
a) \(f(x) = x^3 + 3x - 10\)
b) \(f(x) = 2x^3 + 8x^2 + 8x\)
c) \(f(x) = (x-4)(x+4)\)
Lösung anzeigen

c) \(f(x) = (x-4)(x+4) = x^2 - 16\)

Nullstellen: \(x_1 = -4, \quad x_2 = 4\)

$$f(0) = -16 < 0 \Rightarrow \text{Graph liegt unterhalb}$$

$$F(x) = \frac{x^3}{3} - 16x$$

$$A = \left|\int_{-4}^{4} (x^2 - 16)\,dx\right| = \left|\left[\frac{x^3}{3} - 16x\right]_{-4}^{4}\right|$$

$$= \left|\left(\frac{64}{3} - 64\right) - \left(-\frac{64}{3} + 64\right)\right|$$

$$= \left|\frac{64}{3} - 64 + \frac{64}{3} - 64\right| = \left|\frac{128}{3} - 128\right| = \left|-\frac{256}{3}\right| = \frac{256}{3} \approx 85{,}33$$

Ergebnis c): \(A = \frac{256}{3} \approx 85{,}33\) FE

Aufgabe 6 (S. 223, Nr. 4): Intervallgrenze bestimmen

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = 0{,}04x^2\).
Bestimme die Intervallgrenze \(b\) mit \(b > 0\) so, dass die FlÀche zwischen dem Graphen von \(f\) und der x-Achse auf dem Intervall \([2, b]\) den Wert 2,4 FE hat.
Lösung anzeigen

Gleichung aufstellen

Da die FlÀche oberhalb der x-Achse liegt, ist \(A = \int_2^b 0{,}04x^2\,dx = 2{,}4\).

$$F(x) = 0{,}04 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{0{,}04}{3}x^3 = 0{,}01\overline{3}x^3$$

Grenzen einsetzen und lösen

$$\left[\frac{0{,}04}{3}x^3\right]_2^b = 2{,}4$$

$$\frac{0{,}04}{3}b^3 - \frac{0{,}04}{3} \cdot 8 = 2{,}4$$

$$\frac{0{,}04}{3}b^3 = 2{,}4 + \frac{0{,}32}{3} = 2{,}4 + 0{,}10\overline{6} \approx 2{,}507$$

$$b^3 = \frac{2{,}507 \cdot 3}{0{,}04} \approx 188$$

$$b \approx \sqrt[3]{188} \approx 5{,}73$$

Ergebnis: \(b \approx 5{,}73\) (bzw. exakt: Löse \(0{,}01\overline{3}\,b^3 = 2{,}507\))

🔀 Teil 4: FlĂ€chen zwischen Funktionsgraphen

✏ Differenzfunktion & FlĂ€che

Aufgabe 7 (S. 226)

Bestimme die GrĂ¶ĂŸe der FlĂ€che, die von den Graphen der Funktionen \(f\) und \(g\) umschlossen wird:
a) \(f(x) = x^2 - 6x + 5\), \(g(x) = x - 1\)
Lösung anzeigen

Schritt 1: Differenzfunktion bilden

$$d(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 6x + 5 - x + 1 = x^2 - 7x + 6$$

Schritt 2: Nullstellen von \(d(x)\)

$$x^2 - 7x + 6 = 0$$

p-q-Formel: \(x_{1,2} = \frac{7}{2} \pm \sqrt{\frac{49}{4} - 6} = \frac{7}{2} \pm \frac{5}{2}\)

$$x_1 = 1, \quad x_2 = 6$$

Schritt 3: Vorzeichen prĂŒfen

\(d(3) = 9 - 21 + 6 = -6 < 0\) → Im Intervall \([1, 6]\) ist \(d(x) < 0\), also \(g(x) > f(x)\).

Schritt 4: FlÀche berechnen

$$A = \left|\int_1^6 (x^2 - 7x + 6)\,dx\right|$$

$$= \left|\left[\frac{x^3}{3} - \frac{7x^2}{2} + 6x\right]_1^6\right|$$

$$= \left|\left(\frac{216}{3} - \frac{252}{2} + 36\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{7}{2} + 6\right)\right|$$

$$= \left|(72 - 126 + 36) - (\frac{1}{3} - 3{,}5 + 6)\right|$$

$$= \left|-18 - \frac{17}{6}\right| = \left|-\frac{125}{6}\right| = \frac{125}{6} \approx 20{,}83$$

Ergebnis: \(A = \frac{125}{6} \approx 20{,}83\) FE

Aufgabe 8 (S. 226)

Bestimme die GrĂ¶ĂŸe der FlĂ€che:
\(f(x) = x^2 - 4\), \(g(x) = -0{,}5x^2 + 3x + 0{,}5\)
Lösung anzeigen

Schritt 1: Differenzfunktion

$$d(x) = f(x) - g(x) = x^2 - 4 + 0{,}5x^2 - 3x - 0{,}5$$

$$= 1{,}5x^2 - 3x - 4{,}5$$

Schritt 2: Nullstellen

$$1{,}5x^2 - 3x - 4{,}5 = 0 \quad | :1{,}5$$

$$x^2 - 2x - 3 = 0$$

$$x_{1,2} = 1 \pm \sqrt{1 + 3} = 1 \pm 2$$

$$x_1 = -1, \quad x_2 = 3$$

Schritt 3: FlÀche

$$A = \left|\int_{-1}^{3} (1{,}5x^2 - 3x - 4{,}5)\,dx\right|$$

$$= \left|\left[0{,}5x^3 - 1{,}5x^2 - 4{,}5x\right]_{-1}^{3}\right|$$

$$= \left|(13{,}5 - 13{,}5 - 13{,}5) - (-0{,}5 - 1{,}5 + 4{,}5)\right|$$

$$= \left|-13{,}5 - 2{,}5\right| = |-16| = 16$$

Ergebnis: \(A = 16\) FE

Aufgabe 9: Mehrere TeilflÀchen (S. 227)

Gegeben: \(f(x) = 0{,}2x^2 - 0{,}4x^2 - 3x\) und \(g(x) = 1{,}8x\)
Bestimme die GrĂ¶ĂŸe der FlĂ€che, die von den Graphen von \(f\) und \(g\) umschlossen wird.
Lösung anzeigen

Schritt 1: Differenzfunktion

$$d(x) = f(x) - g(x) = 0{,}2x^3 - 0{,}4x^2 - 3x - 1{,}8x = 0{,}2x^3 - 0{,}4x^2 - 4{,}8x$$

Schritt 2: Nullstellen von \(d(x)\)

$$0{,}2x^3 - 0{,}4x^2 - 4{,}8x = 0$$

$$x(0{,}2x^2 - 0{,}4x - 4{,}8) = 0$$

$$x_1 = 0$$

$$0{,}2x^2 - 0{,}4x - 4{,}8 = 0 \quad | :0{,}2$$

$$x^2 - 2x - 24 = 0$$

$$x_{2,3} = 1 \pm \sqrt{1 + 24} = 1 \pm 5$$

$$x_2 = -4, \quad x_3 = 6$$

Schritt 3: TeilflÀchen berechnen

$$A = \left|\int_{-4}^{0} d(x)\,dx\right| + \left|\int_{0}^{6} d(x)\,dx\right|$$

$$D(x) = \frac{0{,}2}{4}x^4 - \frac{0{,}4}{3}x^3 - \frac{4{,}8}{2}x^2 = 0{,}05x^4 - 0{,}1\overline{3}x^3 - 2{,}4x^2$$

Ergebnis: Berechne die Teilintegrale und summiere die BetrÀge.

🌍 Teil 5: Sachaufgaben

✏ Anwendungen der Integralrechnung

Aufgabe 10: LĂ€rmschutzwall (S. 222, Nr. 3)

Bei LĂ€rmschutzwĂ€llen an Autobahnen sind AbflussgrĂ€ben an beiden Seiten des Walls erforderlich. FĂŒr einen Wall, der 8 m breit und 4 m hoch ist und dessen AbflussgrĂ€ben jeweils 1 m breit sein sollen, arbeitet ein Bauunternehmer daher mit der Querschnittsfunktion \(f(x) = \frac{1}{100}x^4 - \frac{1}{100}x^2 + 4\).
Berechne das Volumen des Materials in Kubikmetern, das zusÀtzlich angeliefert werden muss, um 100 m des LÀrmschutzwalls herzustellen, wenn die Wall 8 m breit und 6 m hoch und die AbflussgrÀben jeweils 2 m breit sein sollen.
Lösung anzeigen

Variante 1: Volumenberechnung

Wir berechnen zunÀchst die QuerschnittsflÀche des Walls.

Wegen der Achsensymmetrie genĂŒgt es, das Intervall \([0, 5]\) zu betrachten und das Ergebnis zu verdoppeln.

FlÀchenbilanz berechnen

$$2 \cdot \int_0^5 \left(\frac{1}{100}x^4 - \frac{1}{100}x^2 + 4\right) dx$$

$$= 2 \cdot \left[\frac{1}{500}x^5 - \frac{1}{300}x^3 + 4x\right]_0^5$$

$$= 2 \cdot \left(\frac{3125}{500} - \frac{125}{300} + 20\right)$$

$$= 2 \cdot \left(6{,}25 - 0{,}417 + 20\right) \approx 2 \cdot 25{,}83 \approx 51{,}67$$

Volumen fĂŒr 100 m

$$V = A \cdot 100 = 51{,}67 \cdot 100 \approx 5167 \text{ m}^3$$

AbzĂŒglich des vorhandenen Volumens ergibt sich das zusĂ€tzlich benötigte Material.

Ergebnis: Es werden ca. 1833 m³ zusÀtzliches Material benötigt.

Aufgabe 11: Löschwasserteich (S. 224, Nr. 9)

Aus einem randvoll gefĂŒllten Löschwasserteich muss wegen dringender Reparaturen das Wasser abgelassen werden. Die pro Stunde abfließende Wassermenge \(w\) (in mÂł pro Stunde) wird im Verlauf der Zeit \(t\) (in Stunden) immer geringer. Sie kann annĂ€hernd durch die Funktion \(w\) mit \(w(t) = 1{,}2t^2 - 24t + 120\) beschrieben werden.
Berechne das Fassungsvermögen des Teichs.
Lösung anzeigen

Schritt 1: Zeitpunkt bestimmen, wann der Teich leer ist

Der Teich ist leer, wenn \(w(t) = 0\):

$$1{,}2t^2 - 24t + 120 = 0 \quad |:1{,}2$$

$$t^2 - 20t + 100 = 0$$

$$(t - 10)^2 = 0 \Rightarrow t = 10$$

Nach 10 Stunden fließt kein Wasser mehr.

Schritt 2: Gesamtmenge berechnen

$$V = \int_0^{10} (1{,}2t^2 - 24t + 120)\,dt$$

$$= \left[0{,}4t^3 - 12t^2 + 120t\right]_0^{10}$$

$$= 0{,}4 \cdot 1000 - 12 \cdot 100 + 120 \cdot 10$$

$$= 400 - 1200 + 1200 = 400$$

Ergebnis: Das Fassungsvermögen betrÀgt 400 m³.

Aufgabe 12 (S. 224, Nr. 7): Steckbriefaufgabe

Ermittle die ganzrationale Funktion 3. Grades, die symmetrisch zum Ursprung ist, durch den Punkt \(N(2|0)\) verlĂ€uft und mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten den FlĂ€cheninhalt \(A = 2\) FE einschließt.
Lösung anzeigen

Ansatz

Punktsymmetrie zum Ursprung → nur ungerade Exponenten:

$$f(x) = ax^3 + bx$$

Bedingungen

1) \(f(2) = 0\): \(8a + 2b = 0 \Rightarrow b = -4a\)

2) \(\int_0^2 f(x)\,dx = 2\):

$$\int_0^2 (ax^3 + bx)\,dx = \left[\frac{a}{4}x^4 + \frac{b}{2}x^2\right]_0^2 = 4a + 2b = 2$$

Lösung des Gleichungssystems

Einsetzen von \(b = -4a\) in \(4a + 2b = 2\):

$$4a + 2(-4a) = 2$$

$$4a - 8a = 2$$

$$-4a = 2 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$$

$$b = -4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2$$

Ergebnis: \(f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 2x\)

Aufgabe 13 (S. 223, Nr. 4c)

Bestimme fĂŒr die Funktion \(f(x) = \frac{1}{4}x^4\) die FlĂ€che zwischen x-Achse und dem Graphen von \(f\) ĂŒber \([1, b]\) mit der Intervallgrenze \(b > 0\) so, dass die FlĂ€che den angegebenen FlĂ€cheninhalt hat. \(A = 12{,}1\)
Lösung anzeigen

Gleichung aufstellen

$$\int_1^b \frac{1}{4}x^4\,dx = 12{,}1$$

$$\left[\frac{1}{20}x^5\right]_1^b = 12{,}1$$

$$\frac{1}{20}b^5 - \frac{1}{20} = 12{,}1$$

$$\frac{1}{20}b^5 = 12{,}15$$

$$b^5 = 243$$

Ergebnis: \(b = \sqrt[5]{243} = 3\)

📝 Teil 6: Übungen 4.2.1 (S. 224)

✏ Nullstellen und FlĂ€chenberechnung

Aufgabe 14 (S. 224, Nr. 1)

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = -\frac{1}{4}x^3 + 2x^2 - \frac{9}{4}x\).
a) Bestimme die Nullstellen und das Grenzverhalten der Funktion \(f\).
b) Skizziere den Graphen der Funktion in ein Koordinatensystem und schraffiere die FlÀchen, die vom Funktionsgraphen und der x-Achse eingeschlossen werden.
c) Berechne die Inhalte der in Aufgabenteil b) schraffierten FlÀchen.
Lösung anzeigen

a) Nullstellen

$$f(x) = -\frac{1}{4}x^3 + 2x^2 - \frac{9}{4}x = 0$$

$$x\left(-\frac{1}{4}x^2 + 2x - \frac{9}{4}\right) = 0$$

$$x_1 = 0$$

FĂŒr die Klammer: \(-\frac{1}{4}x^2 + 2x - \frac{9}{4} = 0 \quad |\cdot(-4)\)

$$x^2 - 8x + 9 = 0$$

$$x_{2,3} = 4 \pm \sqrt{16 - 9} = 4 \pm \sqrt{7}$$

Grenzverhalten: leitender Koeffizient negativ, Grad 3 (ungerade)

\(x \to +\infty: f(x) \to -\infty, \quad x \to -\infty: f(x) \to +\infty\)

c) FlÀcheninhalte

Stammfunktion: \(F(x) = -\frac{1}{16}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{9}{8}x^2\)

TeilflÀchen an den Nullstellen aufteilen und BetrÀge summieren.

Aufgabe 15 (S. 224, Nr. 2 – Auswahl)

Bestimme die Nullstellen der folgenden ganzrationalen Funktionen und berechne jeweils die Inhalte der vom Graphen von \(f\) und der x-Achse begrenzten FlÀche:
a) \(f(x) = x^2 + 3x - 10\)
d) \(f(x) = 2x^3 - 12x + 16\)
j) \(f(x) = -x^4 + 3x^2 + 4\)
Lösung anzeigen

a) \(f(x) = x^2 + 3x - 10\)

Nullstellen: \(x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}\)

\(x_1 = 2, \quad x_2 = -5\)

$$A = \left|\int_{-5}^{2} (x^2 + 3x - 10)\,dx\right|$$

$$= \left|\left[\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 10x\right]_{-5}^{2}\right|$$

$$= \left|\left(\frac{8}{3} + 6 - 20\right) - \left(-\frac{125}{3} + \frac{75}{2} + 50\right)\right|$$

$$= \frac{343}{6} \approx 57{,}17 \text{ FE}$$

j) \(f(x) = -x^4 + 3x^2 + 4\) — nur gerade Nullstellen

Substitution \(z = x^2\): \(-z^2 + 3z + 4 = 0 \Rightarrow z^2 - 3z - 4 = 0\)

\(z_1 = 4, z_2 = -1\) → \(x_{1,2} = \pm 2\) (nur \(z = 4\) liefert reelle Lösungen)

\(f(0) = 4 > 0\) → FlĂ€che liegt oberhalb der x-Achse

$$A = \int_{-2}^{2} (-x^4 + 3x^2 + 4)\,dx = 2\int_0^2 (-x^4 + 3x^2 + 4)\,dx$$

(Symmetrie genutzt)

$$= 2\left[-\frac{x^5}{5} + x^3 + 4x\right]_0^2 = 2\left(-\frac{32}{5} + 8 + 8\right) = 2 \cdot \frac{48}{5} = \frac{96}{5} = 19{,}2$$

Ergebnisse: a) 57,17 FE  |  j) 19,2 FE

🔙 Theorie: Integralrechnung

Stammfunktionen, Grundintegrale, Regeln

📐 FlĂ€chenberechnung

FlÀchen unter Kurven und zwischen Graphen