Das Problem der Momentangeschwindigkeit
Durchschnittliche vs. Momentane Ănderung
Wir kennen bereits die durchschnittliche Steigung (z.B. Durchschnittsgeschwindigkeit) zwischen zwei Punkten. Diese entspricht der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte auf dem Graphen, der sogenannten Sekante.
Die momentane Steigung (z.B. Geschwindigkeit genau jetzt) entspricht der Steigung in genau einem Punkt. Die Gerade, die den Graphen in diesem Punkt berĂŒhrt, nennt man Tangente.
Der Differenzenquotient
Um die Steigung der Sekante durch die Punkte \(P_0(x_0 | f(x_0))\) und \(P(x | f(x))\) zu berechnen, nutzen wir den Differenzenquotienten:
Formel: Differenzenquotient
$$m_s = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
Dies entspricht der Steigung der Sekante durch \(P_0\) und \(P\).
Beispiel aus dem Buch (S. 132)
Gegeben ist die Weg-Zeit-Funktion \(f(x) = 2,5x^2\) (x in Sekunden, f(x) in Metern).
Wir wollen die Geschwindigkeit 2 Sekunden nach dem Anfahren wissen, also bei \(x_0 = 2\).
AnnÀherung durch Sekantensteigungen
Wir berechnen die Durchschnittsgeschwindigkeit fĂŒr immer kleiner werdende Zeitintervalle ab \(x_0 = 2\).
| x (Zeitpunkt) | Rechnung: \(D(2;x) = \frac{f(x)-f(2)}{x-2}\) | Ergebnis (m/s) |
|---|---|---|
| 5 | \(\frac{f(5)-f(2)}{5-2} = \frac{62,5-10}{3}\) | 17,50 |
| 4 | \(\frac{f(4)-f(2)}{4-2} = \frac{40-10}{2}\) | 15,00 |
| 3 | \(\frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{22,5-10}{1}\) | 12,50 |
| 2,5 | \(\frac{f(2,5)-f(2)}{2,5-2}\) | 11,26 |
| 2,1 | \(\frac{f(2,1)-f(2)}{2,1-2}\) | 10,30 |
| 2,001 | \(\frac{f(2,001)-f(2)}{2,001-2}\) | \(\approx 10,003\) |
Beobachtung: Je nĂ€her \(x\) an 2 rĂŒckt, desto nĂ€her kommt der Wert der 10. Wir vermuten, dass die Momentangeschwindigkeit bei \(x=2\) genau \(10 \frac{m}{s}\) betrĂ€gt.
Fazit
Um die exakte Steigung in einem Punkt zu finden, mĂŒssen wir den zweiten Punkt \(P\) immer nĂ€her an \(P_0\) schieben. Mathematisch bedeutet das, wir bilden einen Grenzwert (Limes).
Das schauen wir uns im nÀchsten Kapitel an!
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