⚡ Ableitungsregeln

Differenzialrechnung - Teil 4

Übersicht der Ableitungsregeln

Um Funktionen abzuleiten, mĂŒssen wir nicht jedes Mal den Differenzialquotienten (h-Methode) anwenden. Es gibt Regeln, die uns das Leben leichter machen.

1. Einfache Ableitungsregeln

Diese Regeln gelten fĂŒr ganzrationale Funktionen (Polynome).

Konstantenregel

Eine konstante Zahl fÀllt beim Ableiten weg.

$$f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0$$

Beispiel: \(f(x) = 5 \Rightarrow f'(x) = 0\)

Potenzregel

Der Exponent kommt nach vorne, der neue Exponent wird um 1 kleiner.

$$f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Beispiel: \(f(x) = x^3 \Rightarrow f'(x) = 3x^2\)

Faktorregel

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

$$f(x) = a \cdot x^n \Rightarrow f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}$$

Beispiel: \(f(x) = 5x^4 \Rightarrow f'(x) = 5 \cdot 4x^3 = 20x^3\)

Summenregel

Bei einer Summe wird jeder Summand einzeln abgeleitet.

$$f(x) = g(x) + h(x) \Rightarrow f'(x) = g'(x) + h'(x)$$

Beispiel: \(f(x) = 3x^2 + 4x \Rightarrow f'(x) = 6x + 4\)

2. Produktregel

Wenn die Funktion ein Produkt aus zwei Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) ist.

$$f(x) = u(x) \cdot v(x)$$

Formel:

$$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$$

Merkspruch: "Ableitung der ersten mal die zweite plus erste mal Ableitung der zweiten."

Beispiel: \(f(x) = x^5 \cdot x^3\)

Wir definieren:

  • \(u(x) = x^5 \Rightarrow u'(x) = 5x^4\)
  • \(v(x) = x^3 \Rightarrow v'(x) = 3x^2\)

Einsetzen in die Formel:

$$f'(x) = (5x^4) \cdot (x^3) + (x^5) \cdot (3x^2)$$

$$f'(x) = 5x^7 + 3x^7 = 8x^7$$

Kontrolle mit Potenzregel: \(f(x) = x^8 \Rightarrow f'(x) = 8x^7\) (Stimmt!)

3. Quotientenregel

Wenn die Funktion ein Bruch aus zwei Funktionen \(u(x)\) und \(v(x)\) ist.

$$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$$

Formel:

$$f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}$$

Merkspruch: "Nenner mal Ableitung ZĂ€hler minus ZĂ€hler mal Ableitung Nenner, durch Nenner zum Quadrat." (NAZ - ZAN / NÂČ)

Beispiel: \(f(x) = \frac{x^5}{x^3}\)

Wir definieren:

  • \(u(x) = x^5 \Rightarrow u'(x) = 5x^4\) (ZĂ€hler)
  • \(v(x) = x^3 \Rightarrow v'(x) = 3x^2\) (Nenner)

Einsetzen in die Formel:

$$f'(x) = \frac{5x^4 \cdot x^3 - x^5 \cdot 3x^2}{(x^3)^2}$$

$$f'(x) = \frac{5x^7 - 3x^7}{x^6} = \frac{2x^7}{x^6} = 2x$$

Kontrolle mit Potenzregel: \(f(x) = x^{5-3} = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x\) (Stimmt!)

4. Kettenregel

Wenn Funktionen verschachtelt sind (Funktion in einer Funktion).

$$f(x) = a(i(x))$$

Formel:

$$f'(x) = a'(i(x)) \cdot i'(x)$$

Merkspruch: "Äußere Ableitung mal innere Ableitung."

Beispiel: \(f(x) = (3x^2 + 4)^2\)

Wir zerlegen die Funktion:

  • Innere Funktion: \(i(x) = 3x^2 + 4 \Rightarrow i'(x) = 6x\)
  • Äußere Funktion: \(a(z) = z^2 \Rightarrow a'(z) = 2z\)

Einsetzen (Äußere Ableitung an der Stelle der inneren Funktion):

$$f'(x) = \underbrace{2 \cdot (3x^2 + 4)}_{\text{Äußere Abl.}} \cdot \underbrace{6x}_{\text{Innere Abl.}}$$

Vereinfachen:

$$f'(x) = (6x^2 + 8) \cdot 6x = 36x^3 + 48x$$

📖 Buchbeispiel 16: Anwendung der Produktregel

Die Funktion \(f(x) = (x^6 - 2) \cdot (4x^4 + 7)\) soll mit der Produktregel abgeleitet werden.

VollstĂ€ndige Schritt-fĂŒr-Schritt Lösung
  1. Bestimme u, v und deren Ableitungen:
    \(f(x) = (x^6 - 2) \cdot (4x^4 + 7)\)

    \(u(x) = x^6 - 2 \Rightarrow u'(x) = 6x^5\)
    \(v(x) = 4x^4 + 7 \Rightarrow v'(x) = 16x^3\)
  2. Setze in die Produktregel ein:
    \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)

    \(f'(x) = 6x^5 \cdot (4x^4 + 7) + (x^6 - 2) \cdot 16x^3\)
  3. Klammern auflösen:
    \(f'(x) = 24x^9 + 42x^5 + 16x^9 - 32x^3\)
  4. Gleiche Potenzen zusammenfassen:
    \(f'(x) = 40x^9 + 42x^5 - 32x^3\)

Ergebnis: \(f'(x) = 40x^9 + 42x^5 - 32x^3\)

📖 Buchbeispiel 22: Anwendung der Kettenregel

Bestimme die Ableitung von \(f(x) = (3x + 5)^{56}\).

VollstĂ€ndige Schritt-fĂŒr-Schritt Lösung
  1. Identifiziere innere und Ă€ußere Funktion:
    Innere Funktion: \(i(x) = 3x + 5\)
    Äußere Funktion: \(a(z) = z^{56}\)
  2. Bilde die Ableitungen:
    Innere Ableitung: \(i'(x) = 3\)
    Äußere Ableitung: \(a'(z) = 56 \cdot z^{55}\)
  3. Wende die Kettenregel an:
    \(f'(x) = a'(i(x)) \cdot i'(x)\)

    \(f'(x) = 56 \cdot (3x + 5)^{55} \cdot 3\)
  4. Vereinfache:
    \(f'(x) = 168 \cdot (3x + 5)^{55}\)

Ergebnis: \(f'(x) = 168(3x + 5)^{55}\)

📝 Übungsaufgaben

Teil A: Einfache Ableitungsregeln (S. 143)

Leite die folgenden Funktionen ab und gib die verwendeten Regeln an.

Aufgabe 1a: \(f(x) = 3x^3 + 4x^2\)

Lösung anzeigen

Verwendete Regeln: Summenregel, Faktorregel, Potenzregel

  1. Wir leiten jeden Summanden einzeln ab (Summenregel).
  2. FĂŒr \(3x^3\): Faktor 3 bleibt, Exponent 3 kommt runter, Exponent wird 2.
    \((3x^3)' = 3 \cdot 3 \cdot x^{3-1} = 9x^2\)
  3. FĂŒr \(4x^2\): Faktor 4 bleibt, Exponent 2 kommt runter, Exponent wird 1.
    \((4x^2)' = 4 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = 8x\)

Ergebnis: \(f'(x) = 9x^2 + 8x\)

Aufgabe 1b: \(f(x) = 0{,}5x^2 + 9x - 1\)

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Verwendete Regeln: Summenregel, Faktorregel, Potenzregel, Konstantenregel

  1. \((0{,}5x^2)' = 0{,}5 \cdot 2 \cdot x^1 = x\)
  2. \((9x)' = 9 \cdot 1 \cdot x^0 = 9\) (da \(x^0 = 1\))
  3. \((-1)' = 0\) (Konstantenregel)

Ergebnis: \(f'(x) = x + 9\)

Aufgabe 1c: \(f(x) = \frac{1}{3}x\)

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Verwendete Regeln: Faktorregel, Potenzregel

  1. Schreibe um: \(f(x) = \frac{1}{3} \cdot x^1\)
  2. Ableiten: \(f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot x^0 = \frac{1}{3}\)

Ergebnis: \(f'(x) = \frac{1}{3}\)

Aufgabe 1d: \(f(x) = -\frac{2}{3}x^4 + 27\)

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Verwendete Regeln: Summenregel, Faktorregel, Potenzregel, Konstantenregel

  1. \(\left(-\frac{2}{3}x^4\right)' = -\frac{2}{3} \cdot 4 \cdot x^3 = -\frac{8}{3}x^3\)
  2. \((27)' = 0\)

Ergebnis: \(f'(x) = -\frac{8}{3}x^3\)

Aufgabe 1e: \(f(x) = 2{,}5\)

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Verwendete Regel: Konstantenregel

Eine Konstante hat keine Steigung (der Graph ist eine horizontale Linie).

Ergebnis: \(f'(x) = 0\)

Aufgabe 1f: \(f(x) = 0x^5\)

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Achtung: \(0 \cdot x^5 = 0\). Das ist einfach die Konstante 0!

Ergebnis: \(f'(x) = 0\)

Teil B: Produktregel

Aufgabe: \(f(x) = (x^2 + 1) \cdot (x^3 - 2x)\)

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  1. u und v bestimmen:
    \(u(x) = x^2 + 1 \Rightarrow u'(x) = 2x\)
    \(v(x) = x^3 - 2x \Rightarrow v'(x) = 3x^2 - 2\)
  2. Formel anwenden: \(f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\)
    \(f'(x) = (2x) \cdot (x^3 - 2x) + (x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 2)\)
  3. Ausmultiplizieren:
    \(= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 - 2x^2 + 3x^2 - 2\)
    \(= 2x^4 - 4x^2 + 3x^4 + x^2 - 2\)
  4. Zusammenfassen:

Ergebnis: \(f'(x) = 5x^4 - 3x^2 - 2\)

Teil C: Kettenregel (S. 150)

Aufgabe a: \(f(x) = (2x^2 - 3x)^2\)

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  1. Innere und Ă€ußere Funktion:
    Innere: \(i(x) = 2x^2 - 3x \Rightarrow i'(x) = 4x - 3\)
    Äußere: \(a(z) = z^2 \Rightarrow a'(z) = 2z\)
  2. Kettenregel anwenden:
    \(f'(x) = 2 \cdot (2x^2 - 3x) \cdot (4x - 3)\)
  3. Ausmultiplizieren (optional):
    \(= 2(2x^2 - 3x)(4x - 3)\)
    \(= 2(8x^3 - 6x^2 - 12x^2 + 9x)\)
    \(= 2(8x^3 - 18x^2 + 9x)\)

Ergebnis: \(f'(x) = 16x^3 - 36x^2 + 18x\) oder \(f'(x) = 2(2x^2 - 3x)(4x - 3)\)

Aufgabe b: \(f(x) = (x^2 - 3x - 1)^3\)

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  1. Innere und Ă€ußere Funktion:
    Innere: \(i(x) = x^2 - 3x - 1 \Rightarrow i'(x) = 2x - 3\)
    Äußere: \(a(z) = z^3 \Rightarrow a'(z) = 3z^2\)
  2. Kettenregel anwenden:
    \(f'(x) = 3 \cdot (x^2 - 3x - 1)^2 \cdot (2x - 3)\)

Ergebnis: \(f'(x) = 3(x^2 - 3x - 1)^2 \cdot (2x - 3)\)

Aufgabe c: \(f(x) = (x^2 - x)^3\)

Lösung anzeigen
  1. Innere und Ă€ußere Funktion:
    Innere: \(i(x) = x^2 - x \Rightarrow i'(x) = 2x - 1\)
    Äußere: \(a(z) = z^3 \Rightarrow a'(z) = 3z^2\)
  2. Kettenregel anwenden:
    \(f'(x) = 3 \cdot (x^2 - x)^2 \cdot (2x - 1)\)

Ergebnis: \(f'(x) = 3(x^2 - x)^2 (2x - 1)\)

Aufgabe d: \(f(x) = (x^3 + 4)^5\)

Lösung anzeigen
  1. Innere und Ă€ußere Funktion:
    Innere: \(i(x) = x^3 + 4 \Rightarrow i'(x) = 3x^2\)
    Äußere: \(a(z) = z^5 \Rightarrow a'(z) = 5z^4\)
  2. Kettenregel anwenden:
    \(f'(x) = 5 \cdot (x^3 + 4)^4 \cdot 3x^2\)
  3. Vereinfachen:
    \(f'(x) = 15x^2 \cdot (x^3 + 4)^4\)

Ergebnis: \(f'(x) = 15x^2(x^3 + 4)^4\)

📋 Zusammenfassung: Wann welche Regel?

Situation Regel Beispiel
Nur eine Konstante Konstantenregel \(f(x) = 5\)
Einfache Potenz von x Potenzregel \(f(x) = x^4\)
Zahl vor der Potenz Faktorregel \(f(x) = 3x^2\)
Mehrere Terme mit +/- Summenregel \(f(x) = x^3 + 2x\)
Zwei Funktionen multipliziert Produktregel \(f(x) = (x+1)(x^2-1)\)
Bruch aus zwei Funktionen Quotientenregel \(f(x) = \frac{x^2}{x+1}\)
Funktion in einer Funktion Kettenregel \(f(x) = (2x+1)^5\)
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