Aufgaben: Graphisches Differenzieren

Lösungen und ErklÀrungen zu den Aufgaben aus dem Buch.

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Aufgabe 4: Steigungsgraphen zeichnen

Aufgabenstellung: Zeichnen Sie zu den gegebenen Funktionsgraphen jeweils den Steigungsgraphen.

a) Parabel

ErklÀrung: Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit einem Hochpunkt bei \(x = 2\).
  • FĂŒr \(x < 2\) steigt der Graph \(\rightarrow f'(x) > 0\)
  • Bei \(x = 2\) ist ein Hochpunkt \(\rightarrow f'(2) = 0\) (Nullstelle der Ableitung)
  • FĂŒr \(x > 2\) fĂ€llt der Graph \(\rightarrow f'(x) < 0\)
Die Ableitung ist eine fallende Gerade.

Lösung a) Steigungsgraph

b) Kubische Funktion

ErklÀrung: Der Graph hat einen Tiefpunkt bei \(x = 2\) und einen Hochpunkt bei \(x = 8\).
  • Tiefpunkt bei \(x = 2 \rightarrow f'(2) = 0\)
  • Hochpunkt bei \(x = 8 \rightarrow f'(8) = 0\)
  • Zwischen \(x=2\) und \(x=8\) steigt der Graph \(\rightarrow f'(x) > 0\)
Die Ableitung ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Nullstellen bei 2 und 8.

Lösung b) Steigungsgraph

c) Lineare Funktion

ErklÀrung: Der Graph ist eine Gerade mit konstanter positiver Steigung.
  • Die Steigung ist ĂŒberall gleich: \(m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{2-1}{2-0} = 0.5\)
Die Ableitung ist eine waagerechte Gerade bei \(y = 0.5\).

Lösung c) Steigungsgraph

d) Quartische Funktion

ErklÀrung: Der Graph hat Tiefpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 4\), sowie einen Hochpunkt bei \(x = 1\).
  • Extrempunkte bei \(x = -2, 1, 4 \rightarrow\) Nullstellen der Ableitung.
  • Steigungsverhalten: fĂ€llt, steigt, fĂ€llt, steigt.
Die Ableitung ist eine kubische Funktion mit Nullstellen bei -2, 1 und 4.

Lösung d) Steigungsgraph

e) Konstante Funktion

ErklÀrung: Der Graph ist eine waagerechte Gerade bei \(y = 2\).
  • Die Steigung ist ĂŒberall null.
Die Ableitung ist die x-Achse (\(y = 0\)).

Lösung e) Steigungsgraph

f) Funktion mit Sattelpunkt

ErklÀrung: Der Graph hat einen Sattelpunkt bei \(x = 2\).
  • Sattelpunkt bei \(x = 2 \rightarrow f'(2) = 0\) (BerĂŒhrpunkt mit der x-Achse).
  • Der Graph steigt ĂŒberall sonst \(\rightarrow f'(x) > 0\).
Die Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt auf der x-Achse bei \(x = 2\).

Lösung f) Steigungsgraph

g) Kubische Funktion

ErklÀrung: Der Graph hat einen Hochpunkt bei \(x = 0\) und einen Tiefpunkt bei \(x = 2\).
  • Hochpunkt bei \(x = 0 \rightarrow f'(0) = 0\)
  • Tiefpunkt bei \(x = 2 \rightarrow f'(2) = 0\)
  • Steigungsverhalten: steigt, fĂ€llt, steigt.
Die Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei 0 und 2.

Lösung g) Steigungsgraph

h) Wellenförmige Funktion

ErklĂ€rung: Der Graph schwingt regelmĂ€ĂŸig auf und ab (wie eine Sinusfunktion).
  • Jeder Hochpunkt wird zu einer Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach -.
  • Jeder Tiefpunkt wird zu einer Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von - nach +.
  • Die Wendepunkte (steilste Stellen) werden zu Extrempunkten der Ableitung.
Die Ableitung ist ebenfalls eine wellenförmige Funktion, die gegenĂŒber der Ursprungsfunktion verschoben ist (wie Kosinus zu Sinus).

Lösung h) Steigungsgraph

i) Asymmetrische Funktion 4. Grades

ErklÀrung: Der Graph hat Hochpunkte bei \(x = -2\) und \(x = 2\), sowie einen Tiefpunkt bei \(x = 0\).
  • Extrempunkte bei \(x = -2, 0, 2 \rightarrow\) Nullstellen der Ableitung.
  • Steigungsverhalten: steigt, fĂ€llt, steigt, fĂ€llt.
Die Ableitung ist eine kubische Funktion mit Nullstellen bei -2, 0 und 2, die von oben links nach unten rechts verlÀuft.

Lösung i) Steigungsgraph

Aufgabe 5: Ursprungsgraphen skizzieren (Aufleiten)

Aufgabenstellung: Gegeben sind die folgenden Steigungsgraphen von f. Zeichnen Sie, wie der Graph von f verlaufen könnte. Finden Sie mehrere Möglichkeiten.

a) Konstante Ableitung

ErklÀrung: Die Ableitung ist konstant \(f'(x) = 3\).
  • Die Ursprungsfunktion muss eine Gerade mit der Steigung 3 sein.
  • Da die Konstante \(c\) beim Ableiten wegfĂ€llt, gibt es unendlich viele parallele Geraden als Lösung (z.B. \(f(x) = 3x\), \(f(x) = 3x + 2\), \(f(x) = 3x - 4\)).

Lösung a) Mögliche Ursprungsgraphen

b) Lineare Ableitung

ErklÀrung: Die Ableitung ist eine fallende Gerade mit Nullstelle bei \(x = 1\).
  • Nullstelle bei \(x = 1\) mit Vorzeichenwechsel von + nach - \(\rightarrow\) Hochpunkt bei \(x = 1\).
  • Die Ursprungsfunktion ist eine nach unten geöffnete Parabel.
  • Auch hier gibt es unendlich viele Möglichkeiten, die sich nur in der y-Verschiebung unterscheiden.

Lösung b) Mögliche Ursprungsgraphen

c) Quadratische Ableitung

ErklÀrung: Die Ableitung ist eine nach oben geöffnete Parabel mit Nullstellen bei \(x = -2\) und \(x = 2\).
  • VZW von + nach - bei \(x = -2 \rightarrow\) Hochpunkt.
  • VZW von - nach + bei \(x = 2 \rightarrow\) Tiefpunkt.
  • Die Ursprungsfunktion ist eine kubische Funktion.

Lösung c) Mögliche Ursprungsgraphen