📅 Klausur am 05.03.2026
- Braunsche Röhre (Aufbau, Beobachtung, Auswertung)
- Beschleunigung & Ablenkung von Elektronen
- Energieerhaltungssatz
- Lorentzkraft & Kreisbahn
- Fadenstrahlrohr (Aufbau & Erklärung)
- Massenbestimmung geladener Teilchen
- KEINE komplexen Herleitungen!
📌 Wichtige Konstanten
- Elementarladung: \( e = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \, C \)
- Elektronenmasse: \( m_e = 9{,}109 \cdot 10^{-31} \, kg \)
- Protonenmasse: \( m_p = 1{,}673 \cdot 10^{-27} \, kg \)
- Magnetische Feldkonstante: \( \mu_0 = 1{,}257 \cdot 10^{-6} \, \frac{T \cdot m}{A} \)
- 1 eV = \( 1{,}602 \cdot 10^{-19} \, J \)
🗣️ Kurzüberblick in einfacher Sprache
Bevor es in die Details geht – hier ist alles, was du grundsätzlich verstehen musst:
⚡ Was ist die Braunsche Röhre?
Stell dir eine Röhre vor, in der Elektronen "abgeschossen" werden wie kleine Kugeln. Die Röhre funktioniert in 3 Schritten:
- Elektronen erzeugen: Ein Draht wird heiß gemacht (wie eine Glühbirne). Durch die Hitze "springen" Elektronen aus dem Draht raus. Das ist die Kathode.
- Elektronen beschleunigen: Auf der anderen Seite ist eine positive Platte (die Anode). Weil Elektronen negativ sind, werden sie zur Anode hingezogen – wie ein Magnet. Je höher die Spannung \( U_B \), desto schneller fliegen sie.
- Elektronen ablenken: Dann fliegen die schnellen Elektronen zwischen zwei Platten durch (wie durch einen Tunnel). Eine Platte ist + und eine ist −. Das E-Feld drückt die Elektronen zur Seite ab. Am Ende treffen sie auf einen Bildschirm und machen einen leuchtenden Punkt.
Wichtig für die Klausur: Die Elektronen fliegen geradeaus (horizontal) mit konstanter Geschwindigkeit, und gleichzeitig werden sie senkrecht dazu (vertikal) immer stärker abgelenkt. Das ergibt eine Parabelbahn – genau wie ein Ball, den man waagerecht wirft!
🧲 Was ist das Fadenstrahlrohr?
Jetzt kommt statt einem E-Feld ein Magnetfeld ins Spiel:
- Aufbau: Ein großer runder Glaskolben steht zwischen zwei großen Spulen (Helmholtz-Spulen). Die Spulen erzeugen ein gleichmäßiges Magnetfeld. Im Kolben ist ein bisschen Wasserstoff-Gas drin.
- Was passiert: Elektronen werden (wie bei der Braunschen Röhre) beschleunigt und fliegen dann in das Magnetfeld hinein.
- Was man sieht: Die Elektronen fliegen auf einer Kreisbahn! Man sieht das als leuchtenden Ring, weil die Elektronen gegen Gasteilchen stoßen, die dann leuchten.
Warum ein Kreis? Das Magnetfeld drückt die Elektronen immer zur Seite – aber IMMER im rechten Winkel zur Flugrichtung. Dadurch ändert sich nur die Richtung, nicht die Geschwindigkeit. Eine Kraft, die immer im rechten Winkel zur Bewegung steht, erzeugt eine Kreisbahn (wie ein Ball an einer Schnur, den man im Kreis schleudert).
⚖️ Wie bestimmt man die Masse eines Teilchens?
Die Grundidee ist einfach:
- Man misst den Kreisradius im Magnetfeld (kann man direkt ablesen).
- Man kennt die Spannung \( U_B \) (steht am Gerät) und das Magnetfeld \( B \) (berechenbar aus dem Spulenstrom).
- Dann rechnet man: Schwere Teilchen haben einen großen Kreis, leichte Teilchen einen kleinen. Aus dem Radius kann man zurückrechnen, wie schwer das Teilchen ist.
Denkbild: Stell dir vor, du wirfst einen Tennisball und eine Bowlingkugel im gleichen Tempo in einen seitlichen Wind. Der Tennisball wird stärker abgelenkt (kleiner Kreis), die Bowlingkugel kaum (großer Kreis). Aus der Ablenkung kannst du zurückrechnen, wie schwer der Ball ist.
Teil 1: Elektronen im elektrischen Feld
1.1 Braunsche Röhre – Aufbau
Die Braunsche Röhre (Kathodenstrahlröhre) ist ein Experiment zur Erzeugung, Beschleunigung und Ablenkung von Elektronen.
Bauteile & Funktion
- Glühkathode: Wird erhitzt → Elektronen treten durch den glühelektrischen Effekt aus
- Wehnelt-Zylinder: Negative Spannung bündelt den Elektronenstrahl (Fokussierung)
- Anode mit Loch: Positive Spannung \( U_B \) beschleunigt die Elektronen hindurch
- Ablenkkondensator: Horizontale o. vertikale Platten mit Ablenkspannung \( U_d \) → erzeugt E-Feld quer zur Flugrichtung
- Leuchtschirm: Elektronen treffen auf und erzeugen einen Leuchtpunkt
💬 Mustertext für die Klausur (Aufbau + Beobachtung):
Aufbau: „Die Braunsche Röhre besteht aus einer Glühkathode, die durch Erhitzen Elektronen freisetzt (glühelektrischer Effekt). Die Elektronen werden durch die Beschleunigungsspannung \( U_B \) an der Anode beschleunigt und treten als Strahl durch ein Loch in der Anode. Danach fliegen sie zwischen die Platten eines Ablenkkondensators, der mit der Spannung \( U_d \) ein elektrisches Feld quer zur Flugrichtung erzeugt. Die Elektronen werden senkrecht zu ihrer Flugrichtung abgelenkt und treffen auf einen Leuchtschirm, wo man den Auftreffpunkt als hellen Punkt sieht."
Beobachtung: „Der Leuchtpunkt auf dem Schirm verschiebt sich, wenn die Ablenkspannung \( U_d \) verändert wird. Bei höherer Ablenkspannung ist die Ablenkung größer. Bei höherer Beschleunigungsspannung \( U_B \) wird die Ablenkung kleiner, weil die Elektronen schneller durch den Kondensator fliegen und weniger Zeit haben, abgelenkt zu werden."
Auswertung: „Im Kondensator bewegen sich die Elektronen horizontal gleichförmig (konstantes \( v_x \)) und werden vertikal gleichmäßig beschleunigt. Die Bahn ist eine Parabel (wie beim waagerechten Wurf). Nach dem Kondensator fliegen sie geradlinig weiter."
1.2 Beschleunigung der Elektronen
Die Elektronen starten (nahezu) aus der Ruhe an der Kathode und werden durch die Spannung \( U_B \) beschleunigt.
Energieerhaltungssatz
Die elektrische Energie wird vollständig in kinetische Energie umgewandelt:
\( e \cdot U_B = \frac{1}{2} \, m_e \, v^2 \)
Umgestellt nach der Geschwindigkeit:
\( v = \sqrt{\frac{2 \, e \, U_B}{m_e}} \)
⚠️ Merke
- Die Geschwindigkeit hängt nicht vom Plattenabstand ab – nur von Spannung, Ladung und Masse!
- Je größer \( U_B \), desto schneller die Elektronen.
- Bei gleicher Spannung: leichtere Teilchen werden schneller.
1.3 Ablenkung im Kondensator
Im Ablenkkondensator wirkt ein homogenes E-Feld senkrecht zur Flugrichtung. Die Bewegung lässt sich in zwei unabhängige Komponenten zerlegen:
→ x-Richtung (horizontal)
Gleichförmige Bewegung (keine Kraft)
\( x = v_x \cdot t \)
Flugzeit im Kondensator: \( t_1 = \frac{l}{v_x} \)
↓ y-Richtung (vertikal)
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Kraft: \( F = e \cdot E = e \cdot \frac{U_d}{d} \)
Beschleunigung: \( a = \frac{F}{m_e} = \frac{e \cdot U_d}{m_e \cdot d} \)
Ablenkung: \( y = \frac{1}{2} a \, t_1^2 \)
Geschwindigkeit: \( v_y = a \cdot t_1 \)
Parabelförmige Bahn
Die Bahn im Kondensator ist eine Parabel – genau wie ein waagerechter Wurf (nur mit E-Feld statt Gravitation).
Nach dem Kondensator fliegen die Elektronen geradlinig weiter (kein Feld mehr), aber mit der Ablenkgeschwindigkeit \( v_y \).
Gesamtablenkung auf dem Schirm
Zusätzliche Ablenkung nach dem Kondensator (Strecke \( l_2 \) zum Schirm):
\( y_2 = v_y \cdot \frac{l_2}{v_x} \)
Gesamtablenkung: \( y_{ges} = y_1 + y_2 \)
1.4 Beispielrechnung: Braunsche Röhre
Gegeben: \( U_B = 1200 \, V \), \( U_d = 50 \, V \), \( d = 1 \, cm \), \( l_1 = 4 \, cm \)
a) Geschwindigkeit:
\( v = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 1200}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{\frac{3{,}84 \cdot 10^{-16}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}}} \approx \mathbf{2{,}05 \cdot 10^7 \, m/s} \)
b) Flugzeit im Kondensator:
\( t_1 = \frac{l_1}{v_x} = \frac{0{,}04}{2{,}05 \cdot 10^7} \approx \mathbf{1{,}95 \cdot 10^{-9} \, s} \)
c) Feldstärke im Ablenkkondensator:
\( E = \frac{U_d}{d} = \frac{50}{0{,}01} = \mathbf{5000 \, V/m} \)
d) Kraft auf das Elektron:
\( F = e \cdot E = 1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 5000 = \mathbf{8{,}0 \cdot 10^{-16} \, N} \)
e) Beschleunigung senkrecht zur Strahlrichtung:
\( a = \frac{F}{m_e} = \frac{8{,}0 \cdot 10^{-16}}{9{,}1 \cdot 10^{-31}} \approx \mathbf{8{,}79 \cdot 10^{14} \, m/s^2} \)
f) Ablenkung \( y_1 \) beim Verlassen des Kondensators:
\( y_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 8{,}79 \cdot 10^{14} \cdot (1{,}95 \cdot 10^{-9})^2 \approx \mathbf{1{,}67 \, mm} \)
Teil 2: Elektronen im Magnetfeld
2.1 Die Lorentzkraft
Bewegt sich ein geladenes Teilchen mit der Geschwindigkeit \( v \) durch ein Magnetfeld \( B \), wirkt auf es die Lorentzkraft:
\( F_L = q \cdot v \cdot B \)
(gilt, wenn \( v \perp B \), also Geschwindigkeit senkrecht zum Magnetfeld)
- \( F_L \): Lorentzkraft [N]
- \( q \): Ladung des Teilchens [C] (z.B. \( e = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \, C \))
- \( v \): Geschwindigkeit des Teilchens [m/s]
- \( B \): Magnetische Flussdichte [T] (Tesla)
⚠️ Drei wichtige Eigenschaften der Lorentzkraft
- Die Lorentzkraft steht senkrecht zur Bewegungsrichtung
- Die Lorentzkraft steht senkrecht zum Magnetfeld
- Die Ablenkung steht senkrecht zum Magnetfeld
→ Zwischen allen drei Größen (Magnetfeld, Geschwindigkeit, Kraft) besteht ein rechter Winkel!
2.2 Linke-Hand-Regel (für Elektronen)
Weil Elektronen negativ geladen sind, verwenden wir die Linke-Hand-Regel (bei positiven Ladungen: Rechte-Hand-Regel / UVW-Regel):
🤚 Linke Hand:
- Daumen → Bewegungsrichtung \( v \) der Elektronen
- Zeigefinger → Magnetfeld \( \vec{B} \) (Nord → Süd)
- Mittelfinger → Kraft \( F_L \) (Ablenkrichtung)
Magnetfeld-Symbole
⊗
B in die Ebene hinein
(Pfeil von dir weg – Kreuz = Pfeilende)
⊙
B aus der Ebene heraus
(Pfeil auf dich zu – Punkt = Pfeilspitze)
2.3 Übung: Fehlende Größen ergänzen
Bestimme mit der Linke-Hand-Regel die fehlende Größe (Kraft, Geschwindigkeit oder Magnetfeld):
Daumen → rechts (v), Zeigefinger → in die Ebene (B)
→ Mittelfinger zeigt nach unten ↓
\( F_L \) zeigt nach unten.
Daumen → rechts, Zeigefinger → aus der Ebene
→ \( F_L \) zeigt nach oben ↑
Daumen → links (v), Mittelfinger → unten (F)
→ Zeigefinger zeigt aus der Ebene heraus ⊙
Daumen → links (v), Zeigefinger → in die Ebene (B)
→ \( F_L \) zeigt nach oben ↑
Daumen → links (v), Zeigefinger → rechts (B)
→ \( F_L \) zeigt in die Ebene hinein ⊗
Achtung: Positive Ladung → Rechte-Hand-Regel!
Daumen → rechts, Zeigefinger → in die Ebene
→ \( F_L \) zeigt nach oben ↑ (umgekehrt wie bei Elektronen!)
2.4 Kreisbahn im Magnetfeld – Warum?
Wenn ein Elektron senkrecht in ein homogenes Magnetfeld eintritt, beschreibt es eine Kreisbahn.
Erklärung der Kreisbahn
- Die Lorentzkraft steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung
- Sie ändert nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit
- Eine Kraft, die immer senkrecht zur Bewegung steht, ist eine Zentripetalkraft
- → Das Teilchen bewegt sich auf einer Kreisbahn
⚠️ Zentrale Erkenntnis
Die Lorentzkraft ist die Zentripetalkraft! Wir setzen sie gleich:
\( F_L = F_Z \quad \Rightarrow \quad q \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{r} \)
Vereinfacht (durch \( v \) kürzen):
\( q \cdot B = \frac{m \cdot v}{r} \)
Umgestellt nach dem Radius:
\( r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} \)
Was beeinflusst den Radius?
- Größere Masse \( m \) → größerer Radius (schwerer = weniger Ablenkung)
- Größere Geschwindigkeit \( v \) → größerer Radius (schneller = weniger gekrümmt)
- Größere Ladung \( q \) → kleinerer Radius (stärkere Kraft)
- Größeres Magnetfeld \( B \) → kleinerer Radius (stärkere Kraft)
2.5 Das Fadenstrahlrohr – Aufbau & Beobachtung
Das Fadenstrahlrohr dient zur Bestimmung der spezifischen Ladung \( \frac{e}{m} \) des Elektrons.
📋 Aufbau
- Glaskolben: Evakuierter Kolben, gefüllt mit Wasserstoff bei niedrigem Druck
- Elektronenkanone: Glühkathode + Beschleunigungsspannung \( U_B \) → erzeugt Elektronenstrahl
- Helmholtz-Spulenpaar: Zwei Spulen erzeugen ein nahezu homogenes Magnetfeld \( B \)
- Stromanzeige + Spannungsanzeige zur Messung
👁️ Beobachtung
- Die Elektronen beschreiben eine leuchtende Kreisbahn (durch Anregung der Wasserstoffmoleküle)
- Bei Erhöhung der Spannung \( U_B \): der Kreisradius wird größer (schnellere Elektronen)
- Bei Erhöhung des Spulenstroms (= stärkeres B-Feld): der Kreisradius wird kleiner
💡 Erklärung
Die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft und zwingt die Elektronen auf eine Kreisbahn. Der leuchtende „Faden" entsteht, weil die Elektronen Wasserstoffmoleküle anregen, die dann Licht emittieren.
💬 Mustertext für die Klausur (Aufbau + Beobachtung + Erklärung):
Aufbau: „Das Fadenstrahlrohr besteht aus einem evakuierten Glaskolben, der mit Wasserstoff bei niedrigem Druck gefüllt ist. Darin befindet sich eine Elektronenkanone (Glühkathode + Anode mit Beschleunigungsspannung \( U_B \)), die einen Elektronenstrahl erzeugt. Um den Kolben sind zwei Helmholtz-Spulen angebracht, die ein nahezu homogenes Magnetfeld erzeugen."
Beobachtung: „Man sieht eine leuchtende Kreisbahn im Glaskolben. Wenn man die Spannung \( U_B \) erhöht, wird der Kreis größer (schnellere Elektronen → größerer Radius). Wenn man den Spulenstrom erhöht (stärkeres B-Feld), wird der Kreis kleiner (stärkere Ablenkung → kleinerer Radius)."
Erklärung der Kreisbahn: „Die Elektronen werden durch die Lorentzkraft \( F_L = e \cdot v \cdot B \) auf eine Kreisbahn gezwungen. Die Lorentzkraft steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung und wirkt daher als Zentripetalkraft. Sie ändert nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit. Der leuchtende ‚Faden' entsteht, weil die Elektronen beim Fliegen Wasserstoffmoleküle anregen, die dann Licht aussenden."
Auswertung (phys. Ansatz): „Lorentzkraft = Zentripetalkraft: \( e \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{r} \). Mit der Geschwindigkeit aus dem Energieerhaltungssatz (\( e \cdot U_B = \frac{1}{2} m v^2 \)) kann man die spezifische Ladung bestimmen: \( \frac{e}{m} = \frac{2 U_B}{B^2 \cdot r^2} \)."
2.6 Magnetfeld einer Spule (Helmholtz-Spulen)
Das Magnetfeld im Inneren einer langen Spule beträgt:
\( B = \mu_0 \cdot \frac{N \cdot I}{l} \)
- \( B \): Magnetische Flussdichte [T]
- \( \mu_0 = 1{,}257 \cdot 10^{-6} \, T \cdot m / A \): Magnetische Feldkonstante
- \( N \): Windungszahl
- \( I \): Stromstärke [A]
- \( l \): Länge der Spule [m]
Für eine kurze Spule (Helmholtz-Anordnung) gilt näherungsweise:
\( B = 0{,}715 \cdot \mu_0 \cdot \frac{N \cdot I}{R} \)
wobei \( R \) der Spulenradius ist.
Eine Helmholtz-Spule hat \( N = 154 \) Windungen und Radius \( R = 0{,}2 \, m \). Die Stromstärke beträgt \( I = 0{,}68 \, A \).
Berechne die magnetische Flussdichte \( B \).
\( B = 0{,}715 \cdot \mu_0 \cdot \frac{N \cdot I}{R} \)
\( B = 0{,}715 \cdot 1{,}257 \cdot 10^{-6} \cdot \frac{154 \cdot 0{,}68}{0{,}2} \)
\( B = 0{,}715 \cdot 1{,}257 \cdot 10^{-6} \cdot 523{,}6 \)
\( B \approx \mathbf{4{,}71 \cdot 10^{-4} \, T} \approx 0{,}471 \, mT \)
Teil 3: Massenbestimmung geladener Teilchen
3.1 Spezifische Ladung \( \frac{e}{m} \) bestimmen
Aus der Kreisbahn im Fadenstrahlrohr können wir das Verhältnis \( \frac{e}{m_e} \) bestimmen.
Physikalischer Ansatz
Schritt 1: Geschwindigkeit aus der Beschleunigungsspannung:
\( e \cdot U_B = \frac{1}{2} m \cdot v^2 \quad \Rightarrow \quad v = \sqrt{\frac{2 \, e \, U_B}{m}} \)
Schritt 2: Radius aus dem Kräftegleichgewicht (Lorentzkraft = Zentripetalkraft):
\( e \cdot v \cdot B = \frac{m \cdot v^2}{r} \quad \Rightarrow \quad r = \frac{m \cdot v}{e \cdot B} \)
Schritt 3: Geschwindigkeit aus der Radiusformel eliminieren:
Aus \( r = \frac{m \cdot v}{e \cdot B} \) folgt: \( v = \frac{e \cdot B \cdot r}{m} \)
Einsetzen in die Energiegleichung:
\( e \cdot U_B = \frac{1}{2} m \cdot \left(\frac{e \cdot B \cdot r}{m}\right)^2 = \frac{e^2 \cdot B^2 \cdot r^2}{2m} \)
Ergebnis:
\( \frac{e}{m} = \frac{2 \, U_B}{B^2 \cdot r^2} \)
💡 Was wird gemessen, was wird berechnet?
- Gemessen: Beschleunigungsspannung \( U_B \), Spulenstrom \( I \) (→ daraus \( B \)), Kreisradius \( r \)
- Berechnet: Spezifische Ladung \( \frac{e}{m} \)
- Bekannt: \( \frac{e}{m_e} \approx 1{,}759 \cdot 10^{11} \, C/kg \)
3.2 Massenspektrograph – Prinzip
Ein Massenspektrograph trennt Ionen verschiedener Masse nach ihrem Kreisbahnradius im Magnetfeld.
Aufbau (vereinfacht)
- Ionenquelle: Gasgemisch wird ionisiert (z.B. Wasserstoff, Deuterium)
- Geschwindigkeitsfilter: E-Feld und B-Feld stehen senkrecht zueinander
- Nur Ionen mit einer bestimmten Geschwindigkeit passieren: \( v = \frac{E}{B_1} \)
- Dabei gilt: \( F_{el} = F_L \Rightarrow q \cdot E = q \cdot v \cdot B_1 \)
- Ablenkmagnet: Im homogenen Magnetfeld \( B_2 \) werden die Ionen auf Kreisbahnen abgelenkt
- Detektor: Misst den Auftreffpunkt → daraus folgt der Radius \( r \)
Masse bestimmen
Aus \( r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B_2} \) folgt:
\( m = \frac{q \cdot B_2 \cdot r}{v} \)
Wenn \( v = \frac{E}{B_1} \) (aus dem Geschwindigkeitsfilter):
\( m = \frac{q \cdot B_1 \cdot B_2 \cdot r}{E} \)
📌 Warum unterschiedliche Radien?
Bei gleicher Geschwindigkeit und Ladung gilt: \( r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} \)
→ Schwerere Ionen haben einen größeren Radius!
Beispiel: Deuterium (\( m \approx 2 \, u \)) hat den doppelten Radius von Wasserstoff (\( m \approx 1 \, u \)).
3.3 Umlaufzeit und Zyklotronfrequenz
Die Umlaufzeit eines Teilchens auf der Kreisbahn:
\( T = \frac{2 \pi r}{v} \)
Mit \( r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} \):
\( T = \frac{2 \pi \, m}{q \cdot B} \)
⚠️ Wichtige Erkenntnis
Die Umlaufzeit \( T \) ist unabhängig von der Geschwindigkeit \( v \) und dem Radius \( r \)!
Sie hängt nur von der Masse \( m \), der Ladung \( q \) und dem Magnetfeld \( B \) ab.
→ Dies ist die Grundlage des Zyklotrons (Teilchenbeschleuniger).
Die Zyklotronfrequenz (Kreisfrequenz): \( \omega = \frac{q \cdot B}{m} \)
Klausurübungen
Elektronen werden mit \( U_B = 200 \, V \) beschleunigt und treten in ein Magnetfeld \( B = 1{,}5 \cdot 10^{-3} \, T \) ein.
a) Berechne die Geschwindigkeit der Elektronen.
b) Berechne den Radius der Kreisbahn.
c) Erkläre, warum die Bahn eine Kreisbahn ist.
a) Geschwindigkeit:
\( v = \sqrt{\frac{2 \, e \, U_B}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 200}{9{,}109 \cdot 10^{-31}}} \)
\( v = \sqrt{\frac{6{,}408 \cdot 10^{-17}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{7{,}034 \cdot 10^{13}} \approx \mathbf{8{,}39 \cdot 10^6 \, m/s} \)
b) Radius:
\( r = \frac{m_e \cdot v}{e \cdot B} = \frac{9{,}109 \cdot 10^{-31} \cdot 8{,}39 \cdot 10^6}{1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 1{,}5 \cdot 10^{-3}} \)
\( r = \frac{7{,}642 \cdot 10^{-24}}{2{,}403 \cdot 10^{-22}} \approx \mathbf{0{,}0318 \, m} \approx 3{,}2 \, cm \)
c) Erklärung:
Die Lorentzkraft steht immer senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen. Sie ändert nur die Richtung, nicht den Betrag der Geschwindigkeit. Eine Kraft, die stets senkrecht zur Bewegung steht und konstant ist (da \( v \) und \( B \) konstant), ist eine Zentripetalkraft → Kreisbahn.
Im Fadenstrahlrohr wird bei \( U_B = 150 \, V \) und \( B = 1{,}2 \cdot 10^{-3} \, T \) ein Kreisradius von \( r = 4{,}0 \, cm \) beobachtet.
Bestimme die spezifische Ladung \( \frac{e}{m} \) des Elektrons.
\( \frac{e}{m} = \frac{2 \, U_B}{B^2 \cdot r^2} \)
\( \frac{e}{m} = \frac{2 \cdot 150}{(1{,}2 \cdot 10^{-3})^2 \cdot (0{,}04)^2} \)
\( \frac{e}{m} = \frac{300}{1{,}44 \cdot 10^{-6} \cdot 1{,}6 \cdot 10^{-3}} = \frac{300}{2{,}304 \cdot 10^{-9}} \)
\( \frac{e}{m} \approx \mathbf{1{,}30 \cdot 10^{11} \, C/kg} \)
(Literaturwert: \( 1{,}759 \cdot 10^{11} \, C/kg \) – Abweichung durch Messungenauigkeit)
In einer Braunschen Röhre werden Elektronen mit \( U_B = 800 \, V \) beschleunigt. Der Ablenkkondensator hat \( U_d = 40 \, V \), Plattenabstand \( d = 1{,}5 \, cm \) und Länge \( l = 5 \, cm \).
a) Berechne \( v_x \) (Geschwindigkeit nach Beschleunigung).
b) Berechne die Feldstärke \( E \) im Ablenkkondensator.
c) Berechne die Beschleunigung \( a_y \) senkrecht zur Strahlrichtung.
d) Berechne die Ablenkung \( y_1 \) beim Verlassen des Kondensators.
a) \( v_x = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U_B}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 800}{9{,}109 \cdot 10^{-31}}} \approx \mathbf{1{,}677 \cdot 10^7 \, m/s} \)
b) \( E = \frac{U_d}{d} = \frac{40}{0{,}015} \approx \mathbf{2667 \, V/m} \)
c) \( F = e \cdot E = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 2667 = 4{,}27 \cdot 10^{-16} \, N \)
\( a_y = \frac{F}{m_e} = \frac{4{,}27 \cdot 10^{-16}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}} \approx \mathbf{4{,}69 \cdot 10^{14} \, m/s^2} \)
d) Flugzeit: \( t_1 = \frac{l}{v_x} = \frac{0{,}05}{1{,}677 \cdot 10^7} = 2{,}98 \cdot 10^{-9} \, s \)
\( y_1 = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot t_1^2 = \frac{1}{2} \cdot 4{,}69 \cdot 10^{14} \cdot (2{,}98 \cdot 10^{-9})^2 \)
\( y_1 \approx \mathbf{2{,}08 \cdot 10^{-3} \, m} = 2{,}08 \, mm \)
In einem Massenspektrographen werden H⁺- und D⁺-Ionen (Wasserstoff und Deuterium, einfach geladen) durch eine Spannung von \( U_B = 1000 \, V \) beschleunigt und treten in ein Magnetfeld mit \( B = 1 \, T \) ein.
Massen: \( m_H = 1{,}67 \cdot 10^{-27} \, kg \), \( m_D = 3{,}34 \cdot 10^{-27} \, kg \)
a) Welche Ladung besitzen die Ionen?
b) Berechne die Geschwindigkeit beider Ionen nach Beschleunigung.
c) Berechne den Bahnradius beider Ionen im Magnetfeld.
d) Um wie viel unterscheiden sich die Radien?
a) Einfach geladene Ionen tragen die Elementarladung: \( q = e = 1{,}602 \cdot 10^{-19} \, C \)
b) Geschwindigkeiten:
\( v_H = \sqrt{\frac{2 \, e \, U_B}{m_H}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 1000}{1{,}67 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{1{,}918 \cdot 10^{11}} \approx \mathbf{4{,}38 \cdot 10^5 \, m/s} \)
\( v_D = \sqrt{\frac{2 \, e \, U_B}{m_D}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 1000}{3{,}34 \cdot 10^{-27}}} = \sqrt{9{,}593 \cdot 10^{10}} \approx \mathbf{3{,}10 \cdot 10^5 \, m/s} \)
c) Bahnradien:
\( r_H = \frac{m_H \cdot v_H}{e \cdot B} = \frac{1{,}67 \cdot 10^{-27} \cdot 4{,}38 \cdot 10^5}{1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 1} = \frac{7{,}31 \cdot 10^{-22}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} \approx \mathbf{4{,}56 \cdot 10^{-3} \, m} \approx 4{,}6 \, mm \)
\( r_D = \frac{m_D \cdot v_D}{e \cdot B} = \frac{3{,}34 \cdot 10^{-27} \cdot 3{,}10 \cdot 10^5}{1{,}602 \cdot 10^{-19} \cdot 1} = \frac{1{,}035 \cdot 10^{-21}}{1{,}602 \cdot 10^{-19}} \approx \mathbf{6{,}46 \cdot 10^{-3} \, m} \approx 6{,}5 \, mm \)
d) Unterschied:
\( \Delta r = r_D - r_H \approx 6{,}5 - 4{,}6 = \mathbf{1{,}9 \, mm} \)
Das Deuterium-Ion hat den \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \)-fachen Radius, weil es die doppelte Masse hat (\( r \propto \sqrt{m} \) bei gleicher Spannung).
In einem Geschwindigkeitsfilter herrschen gleichzeitig ein E-Feld (\( E = 5000 \, V/m \)) und ein B-Feld (\( B = 0{,}02 \, T \)) senkrecht zueinander. Nur Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit fliegen geradeaus.
a) Erkläre, warum nur Teilchen einer bestimmten Geschwindigkeit passieren.
b) Berechne diese Geschwindigkeit.
a) Im Filter wirken auf ein geladenes Teilchen gleichzeitig die elektrische Kraft \( F_{el} = q \cdot E \) und die Lorentzkraft \( F_L = q \cdot v \cdot B \) in entgegengesetzte Richtungen. Nur wenn beide Kräfte gleich groß sind, fliegt das Teilchen geradeaus. Zu schnelle Teilchen werden vom Magnetfeld stärker abgelenkt, zu langsame vom E-Feld.
b) Kräftegleichgewicht:
\( F_{el} = F_L \)
\( q \cdot E = q \cdot v \cdot B \)
\( v = \frac{E}{B} = \frac{5000}{0{,}02} = \mathbf{2{,}5 \cdot 10^5 \, m/s} \)
(Beachte: Die Geschwindigkeit ist unabhängig von Masse und Ladung!)
Im DESY-Beschleuniger werden Elektronen mit \( 3 \cdot 10^{10} \, eV \) auf Protonen mit \( 82 \cdot 10^{10} \, eV \) geschossen.
a) Rechne die Energie der Elektronen in Joule um.
b) Berechne die Geschwindigkeit der Elektronen (klassisch). Warum ist das Ergebnis problematisch?
a) \( E = 3 \cdot 10^{10} \, eV = 3 \cdot 10^{10} \cdot 1{,}602 \cdot 10^{-19} \, J = \mathbf{4{,}806 \cdot 10^{-9} \, J} \)
b) Klassische Rechnung:
\( v = \sqrt{\frac{2 \, E}{m_e}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 4{,}806 \cdot 10^{-9}}{9{,}109 \cdot 10^{-31}}} = \sqrt{1{,}055 \cdot 10^{22}} \approx 3{,}25 \cdot 10^{11} \, m/s \)
Problem: Dieses Ergebnis ist etwa 1000× größer als die Lichtgeschwindigkeit (\( c \approx 3 \cdot 10^8 \, m/s \))! Das ist physikalisch unmöglich. Bei so hohen Energien muss die Relativitätstheorie berücksichtigt werden – die Masse des Teilchens nimmt zu.
📋 Formelsammlung für die Klausur
🎯 Alle klausurrelevanten Formeln
| Formel | Bedeutung | Anwendung |
|---|---|---|
| \( E = \frac{U}{d} \) | Elektrische Feldstärke | Plattenkondensator |
| \( F_{el} = q \cdot E \) | Elektrische Kraft | Kraft auf Ladung im E-Feld |
| \( e \cdot U_B = \frac{1}{2} m v^2 \) | Energieerhaltung | Beschleunigung durch Spannung |
| \( v = \sqrt{\frac{2 \, e \, U_B}{m}} \) | Geschwindigkeit | Nach Beschleunigung |
| \( F = m \cdot a \) | Newton 2 | Beschleunigung berechnen |
| \( y = \frac{1}{2} a \, t^2 \) | Gleichm. beschl. Bewegung | Ablenkung im Kondensator |
| \( F_L = q \cdot v \cdot B \) | Lorentzkraft | Kraft im Magnetfeld |
| \( q \cdot v \cdot B = \frac{m v^2}{r} \) | Lorentz = Zentripetal | Kreisbahn im B-Feld |
| \( r = \frac{m \cdot v}{q \cdot B} \) | Kreisbahnradius | Bahnradius im B-Feld |
| \( \frac{e}{m} = \frac{2 \, U_B}{B^2 \cdot r^2} \) | Spezifische Ladung | Fadenstrahlrohr-Auswertung |
| \( v = \frac{E}{B} \) | Geschwindigkeitsfilter | Wienfilter / Massenspektrograph |
| \( T = \frac{2\pi\,m}{q \cdot B} \) | Umlaufzeit | Unabhängig von v und r! |
| \( B = \mu_0 \cdot \frac{N \cdot I}{l} \) | Magnetfeld der Spule | Helmholtz-Spulen |
🎯 Klausur-Strategie: So gehst du vor
Bei Aufgaben zur Braunschen Röhre:
- Geschwindigkeit \( v_x \) aus Energieerhaltung berechnen
- Feldstärke \( E \) im Ablenkkondensator: \( E = U_d / d \)
- Kraft \( F = e \cdot E \), dann Beschleunigung \( a = F / m \)
- Flugzeit im Kondensator: \( t = l / v_x \)
- Ablenkung: \( y = \frac{1}{2} a t^2 \)
Bei Aufgaben zum Magnetfeld / Fadenstrahlrohr:
- Geschwindigkeit aus Beschleunigungsspannung: \( v = \sqrt{2eU/m} \)
- Lorentzkraft = Zentripetalkraft aufstellen
- Nach der gesuchten Größe umstellen (Radius, Masse, B-Feld, ...)
- Bei Massenbestimmung: \( \frac{e}{m} = \frac{2U}{B^2 r^2} \)
Allgemeine Tipps:
- ✅ Immer zuerst Gegeben / Gesucht / Formel aufschreiben
- ✅ Einheiten umrechnen: cm → m, mA → A, eV → J
- ✅ Ergebnis auf Plausibilität prüfen (Elektronengeschwindigkeiten: ~10⁶ bis 10⁷ m/s)
- ✅ Textaufgaben: Aufbau beschreiben, Beobachtung nennen, physikalisch erklären