🔢 Zahlensysteme

Informatik - Teil 4: Dezimal, Binär, Oktal und Hexadezimal

1. Übersicht der Zahlensysteme

📖 Was ist ein Zahlensystem?

Ein Zahlensystem ist eine Methode zur Darstellung von Zahlen mit Hilfe von Ziffern oder anderen Symbolen. Die Basis (auch Grundzahl genannt) gibt an, wie viele verschiedene Ziffern zur Verfügung stehen und welchen Wert jede Stelle hat.

📊 Die vier wichtigsten Zahlensysteme

System Basis Ziffern Präfix (Java) Verwendung
Dezimal 10 0-9 (kein) Alltag, Menschen
Binär 2 0, 1 0b Computer intern
Oktal 8 0-7 0 Unix-Rechte
Hexadezimal 16 0-9, A-F 0x Farben, Speicheradressen

🔤 Hexadezimale Ziffern

Dezimal 01234567 89101112131415
Hex 01234567 89ABCDEF

A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

Merkspruch für Hex-Ziffern:
"Alle Bauern Coden Doof, Echt Frech!" → A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

2. Das Stellenwertsystem

📖 Wie funktioniert ein Stellenwertsystem?

Im Stellenwertsystem hat jede Ziffer einen Wert, der von ihrer Position abhängt. Der Wert jeder Stelle ist eine Potenz der Basis. Die rechteste Stelle hat den Exponenten 0.

📐 Stellenwerte im Dezimalsystem (Basis 10)

Beispiel: Die Zahl 4725

4
10³=1000
7
10²=100
2
10¹=10
5
10⁰=1

4725 = 4×1000 + 7×100 + 2×10 + 5×1 = 4000 + 700 + 20 + 5

📐 Stellenwerte im Binärsystem (Basis 2)

Beispiel: Die Zahl 1101₂

1
2³=8
1
2²=4
0
2¹=2
1
2⁰=1

1101₂ = 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Merke die Zweierpotenzen:
2⁰=1, 2¹=2, 2²=4, 2³=8, 2⁴=16, 2⁵=32, 2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256

3. Umrechnung: Binär → Dezimal

📝 Methode: Stellenwerte addieren

Multipliziere jede Ziffer mit ihrem Stellenwert (Potenz von 2) und addiere alle Ergebnisse.

Beispiel: 10110₂ → Dezimal

1
Stellenwerte von rechts nach links:
1 0 1 1 0
2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰
16 8 4 2 1
2
Nur die Einsen zählen:
1×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1
3
Berechnen:
16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22
Ergebnis: 10110₂ = 22₁₀

✏️ Weitere Beispiele

Binär Rechnung Dezimal
1001 8 + 0 + 0 + 1 9
1111 8 + 4 + 2 + 1 15
10000 16 16
11111111 128+64+32+16+8+4+2+1 255

4. Umrechnung: Dezimal → Binär

📝 Methode: Sukzessive Division durch 2

Teile die Zahl wiederholt durch 2 und notiere den Rest. Die Reste von unten nach oben gelesen ergeben die Binärzahl.

Beispiel: 45₁₀ → Binär

1
45 ÷ 2 = 22 Rest 1 ↑
2
22 ÷ 2 = 11 Rest 0 ↑
3
11 ÷ 2 = 5 Rest 1 ↑
4
5 ÷ 2 = 2 Rest 1 ↑
5
2 ÷ 2 = 1 Rest 0 ↑
6
1 ÷ 2 = 0 Rest 1 ↑ (STOP wenn Ergebnis = 0)
Ergebnis (von unten nach oben lesen): 45₁₀ = 101101₂
Merkregel: Teile durch 2, schreibe den Rest, lese von unten nach oben!

5. Hexadezimal-Umrechnungen

5.1 Dezimal → Hexadezimal

📝 Methode: Sukzessive Division durch 16

Beispiel: 255₁₀ → Hexadezimal

1
255 ÷ 16 = 15 Rest 15 = F ↑
2
15 ÷ 16 = 0 Rest 15 = F ↑ (STOP)
Ergebnis: 255₁₀ = FF₁₆

Beispiel: 500₁₀ → Hexadezimal

1
500 ÷ 16 = 31 Rest 4 ↑
2
31 ÷ 16 = 1 Rest 15 = F ↑
3
1 ÷ 16 = 0 Rest 1 ↑ (STOP)
Ergebnis: 500₁₀ = 1F4₁₆

5.2 Hexadezimal → Dezimal

📝 Methode: Stellenwerte multiplizieren (Basis 16)

Beispiel: 2A3₁₆ → Dezimal

1
Ziffernwerte: 2 = 2, A = 10, 3 = 3
2
Stellenwerte: 16² = 256, 16¹ = 16, 16⁰ = 1
3
Berechnen:
2×256 + 10×16 + 3×1
= 512 + 160 + 3 = 675
Ergebnis: 2A3₁₆ = 675₁₀

6. Binär ↔ Hexadezimal (Schnellmethode)

💡 Der Trick: 4-Bit-Gruppen

Da 16 = 2⁴, entspricht eine Hexadezimal-Ziffer genau 4 Binär-Ziffern (Bits). Man kann einfach 4er-Gruppen bilden und umrechnen!

📊 Übersetzungstabelle (4 Bit = 1 Hex)

Binär Hex Dez Binär Hex Dez
000000 100088
000111 100199
001022 1010A10
001133 1011B11
010044 1100C12
010155 1101D13
011066 1110E14
011177 1111F15

📝 Binär → Hexadezimal

Beispiel: 11010110₂ → Hex

1
4er-Gruppen von rechts bilden:
1101 | 0110
2
Jede Gruppe umrechnen:
1101 = D (13)
0110 = 6
Ergebnis: 11010110₂ = D6₁₆

📝 Hexadezimal → Binär

Beispiel: 3F₁₆ → Binär

1
Jede Hex-Ziffer in 4 Bit umwandeln:
3 = 0011
F = 1111
2
Zusammenfügen:
0011 1111
Ergebnis: 3F₁₆ = 00111111₂ = 111111₂

7. Oktalsystem (Basis 8)

🔢 Oktal: 3-Bit-Gruppen

Da 8 = 2³, entspricht eine Oktal-Ziffer genau 3 Binär-Bits.

Oktal 01234567
Binär 000001010011100101110111

Beispiel: 157₈ → Dezimal

1×64 + 5×8 + 7×1 = 64 + 40 + 7 = 111₁₀

Beispiel: 101110₂ → Oktal

3er-Gruppen: 101 | 110 → 5 | 6 = 56₈

8. Rechnen im Binärsystem

8.1 Binäre Addition

➕ Regeln für binäre Addition

A B Summe Übertrag
0000
0110
1010
1101

Merke: 1 + 1 = 10 (binär) = "0, schreibe 1 als Übertrag"

Beispiel: 1011 + 1101

    1 1 1     ← Überträge
      1 0 1 1
    + 1 1 0 1
    ---------
    1 1 0 0 0

Probe: 11₁₀ + 13₁₀ = 24₁₀ ✓ (11000₂ = 24₁₀)

8.2 Negative Zahlen: Zweierkomplement

📖 Was ist das Zweierkomplement?

Das Zweierkomplement ist eine Methode zur Darstellung negativer Zahlen im Binärsystem. Es ermöglicht, Subtraktion als Addition durchzuführen.

📝 Zweierkomplement berechnen

Beispiel: -5 als 8-Bit Zweierkomplement

1
+5 in Binär: 00000101
2
Alle Bits invertieren (Einerkomplement):
00000101 → 11111010
3
1 addieren:
11111010 + 1 = 11111011
Ergebnis: -5₁₀ = 11111011₂ (8 Bit)
Das höchste Bit (MSB) ist das Vorzeichen:
0 = positive Zahl, 1 = negative Zahl

📋 Zusammenfassung: Zahlensysteme

  • Dezimal (Basis 10): Ziffern 0-9, unser Alltagssystem
  • Binär (Basis 2): Ziffern 0,1 – Sprache des Computers
  • Oktal (Basis 8): Ziffern 0-7, 3 Bit pro Ziffer
  • Hexadezimal (Basis 16): 0-9 und A-F, 4 Bit pro Ziffer

Umrechnungsmethoden:

  • → Dezimal: Stellenwerte multiplizieren und addieren
  • Dezimal →: Sukzessive Division durch Basis, Reste ablesen
  • Binär ↔ Hex: 4-Bit-Gruppen bilden und umrechnen
  • Binär ↔ Oktal: 3-Bit-Gruppen bilden und umrechnen

Wichtige Zweierpotenzen:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024

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